1、第二章 圆锥曲线与方程21 曲线与方程2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程第二章 圆锥曲线与方程 1.了解曲线与方程的概念 2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义 3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_那 么，这 个 方 程 叫 做 _；这 条 曲 线 叫 做_这个方程的解曲线上的点曲线的
2、方程方程的曲线2求曲线的方程的步骤1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()(2)若点 M(x，y)的坐标是方程 f(x，y)0 的解，则点 M 在曲线f(x，y)0 上()(3)方程 yx 与方程 yx2x 表示同一曲线()答案：(1)(2)(3)2方程 xy10(0 x1)表示的曲线是()A直线 B射线C线段D平面区域答案：C3已知动点 P 到点(1，2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程是()A(x1)2(y2)29B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)23答案：B4已知方程 x2y25 表示的曲线经过点 A(2，m
3、)，则 m 的值为_答案：3探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念辨析 判断下列命题是否正确：(1)设点 A(2，0)，B(0，2)，则线段 AB 的方程是 xy20；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 x2y20.解(1)方程 xy20 表示一条直线，坐标满足该方程的点如(1，3)等不在线段 AB 上，故命题错误(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 yx，满足 x2y20，反过来坐标满足方程 x2y20 的点到两坐标轴的距离相等，故命题正确解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上
4、，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.1.(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0上的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系；第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系解：(1)选 C.由曲线与方程的概念可知，若 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上，则必有 f(x0，y0)0；又当 f(x0，y0)0 时，点 P(x0，y0)也一定在方程 f(
5、x，y)0 对应的曲线上，故选 C.(2)过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解；但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2，0)且平行于 y 轴的直线上因此|x|2 不是过点 A(2，0)平行于y 轴的直线的方程 第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0，反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上，因此第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0.探究点二 曲线与方程的关系(1)若点 Mm2，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，则实数 m 的值为_(2)方程(2x3y5)(x31)0 表示
6、的曲线是什么？解(1)因为点 Mm2，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，所以 xm2，ym 满足方程 x2(y1)210，即m22(m1)210，解得 m2 或 m185.所以实数 m 的值为 2 或185.故填 2 或185.(2)因为(2x3y5)(x31)0，所以可得2x3y50，x30或 x310 x30，也就是 2x3y50(x3)或者 x4，故方程表示的曲线为一条射线 2x3y50(x3)和一条直线 x4.1若把本例(2)中的方程改为(2x3y5)x10，又表示什么曲线？解：由方程(2x3y5)x10 可得 x10，2x3y50或x10，x10，即 2x3y50(x1)
7、或 x1.故方程表示一条射线 2x3y50(x1)和一条直线 x1.2若把本例(2)中的方程改为“2x31(2x3y5)0”，其表示什么曲线？解：由 2x31(2x3y5)0 得 2x3y50(x3)，其表示一条射线(1)方程表示的曲线的判断步骤(2)判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线 当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.2.(1)方程 xy2x2y2x 所表示的曲线()A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于 xy0 对称(2)点 A(1，2)在曲线 x22xyay50 上，则 a_.解析：(1)同时以x
8、代替 x，以y 代替 y，方程不变，所以方程 xy2x2y2x 所表示的曲线关于原点对称(2)由题意可知点(1，2)是方程 x22xyay50 的一组解，即 142a50，解得 a5.答案：(1)C(2)5探究点三 求曲线的方程 设圆 C：(x1)2y21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解 法一：(直接法)设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CPOQ.因为 OC 的中点为 M12，0，连接 MP，故|MP|12|OC|12，得方程x122y214，由圆的范围知 0 x1.法二：(定义法)因为OPC90，所以动点 P 在以点 M12，0 为圆心，OC 为
9、直径的圆上 由圆的方程得x122y214(0 x1)法三：(代入法)设所作弦 OQ 的中点 P(x，y)，Q(x1，y1)，则xx12，yy12x12x，y12y.又因为点 Q(x1，y1)在圆 C 上，所以(x11)2y211，所以(2x1)2(2y)21，即x122y214(0 x1)法四：(参数法)设动弦 OQ 的方程为 ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0，所以 xx1x2211k2，ykxk1k2，消去 k 即可得(2x1)2(2y)21，即x122y214(0 x1)求曲线的方程的常用方法(1)直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系
10、，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)相关点法(代入法)有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法(3)定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量(4)参数法 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求
11、轨迹的方程 3.(1)到坐标原点的距离是到 x 轴距离 2 倍的点的轨迹方程是()Ay 3xBy 33 xCx23y21 Dx23y20(2)已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程(3)一动点 C 在曲线 x2y21 上移动时，它和定点 B(3，0)连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程解：(1)选 D.设点的坐标为(x，y)，则 x2y22|y|，整理得 x23y20.(2)作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|12|AB|3.所以 M 的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点的轨迹方
12、程为 x2y29.(3)设 C(x0，y0)，P(x，y)依题意有 xx032，yy02，所以x02x3，y02y.由于点 C(x0，y0)在曲线 x2y21 上，所以(2x3)2(2y)21，即点 P 的轨迹方程为(2x3)24y21.1方程化简到什么程度，教材上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x，y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明2“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状3建立坐标系的技巧
13、建立适当的坐标系，可以使运算过程简化，计算量减少，所得方程也比较简单在解题过程中，我们要充分利用图形的几何特征，一般情况下有以下几种建立平面直角坐标系的方法：(1)若条件中只出现一个定点，常以该定点为原点建立平面直角坐标系；(2)若已知两定点，常以两定点的中点为坐标原点，两定点所在的直线为 x 轴(或 y 轴)建立平面直角坐标系；(3)若已知两条互相垂直的直线，常以这两条互相垂直的直线为坐标轴建立平面直角坐标系；(4)若已知一定点和一定直线，常过该定点作定直线的垂线，以垂线与定直线的交点为原点，定直线与所作垂线为坐标轴建立平面直角坐标系；(5)中心对称图形常利用它的对称中心为坐标原点，轴对称图
14、形常利用它的对称轴为坐标轴1平面内有两定点 A，B 且|AB|4，动点 P 满足|PAPB|4，则点 P 的轨迹是()A线段 B半圆C圆D直线解析：选 C.以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(2，0)，B(2，0)设 P(x，y)，则PAPB2PO 2(x，y)所以 x2y24.2方程 y|x|x2表示的曲线为图中的()解析：选 C.y|x|x2，x0，为偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除 A，B.又当 x0 时，y1x0；当 x0 时，y1x0，故排除 D.3设 P 为曲线x24 y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是_解析：设 M(x，y)，则 P(2x，2y)，代入已知曲线方程得 x24y21.答案：x24y214已知 A(3，0)，B(3，0)，动点 M 满足MA MB 1，求点 M 的轨迹方程解：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，MA(3x，y)，MB(3x，y)因为MA MB 1，所以(3x，y)(3x，y)1，所以(9x2)y21，所以 x2y28.所以点 M 的轨迹方程为 x2y28.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放