1、2.1.1 曲线与方程 第二章 圆锥曲线与方程 一，复习直线的方程与方程的直线。一般地，在直角直角坐标系中，如果某直线上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（）直线上点的坐标都是方程的解（）以这个方程解为坐标的点都是直线上的点称这个方程叫做直线的方程，这条直线叫做方程的直线。xy0y=x一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（）曲线上点的坐标都是方程的解（）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。二，新课：例如：以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程为(x-
2、a)2+(y-b)2=r2证明（）如点（x0，y0）在圆上，则点（x0，y0）到（a，b）的距离为r，则（x0，y0）坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2（）若（x0，y0）方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，即：则以（x0，y0）为坐标的点到（a，b）的距离为r，满足圆的定义，从而点（x0，y0）在圆上。从而得证。rb)-(ya)-(x202022020b)-(ya)-(xr22020b)-(ya)-(xrrb)-(ya)-(x2020【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.证明：（1）设 是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为 ，与y轴
3、的距离为 ，所以 00(,)M xy0 x0y00,xyk00(,).xyxyk 即是方程的解11(,)(2)设是方程的解，x yxyk 11.xyk所以 1 1,即：x yk 00,yk 即：x 而 正是点M1到纵轴、横轴的距离，因 此以（x1,y1）为坐标的点到这两条直线的距离的积是常数k，点（x1,y1）是曲线上的点.由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离的 积为常数k(k0)的点的轨迹方程.11xy，xyk【例2】设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.整理得，x+2y-7=0由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解解：（1）设M（x,y）
4、是线段AB的垂直平分线上任意一点则MA=MB2222)7()3()1()1(yxyx即x1+2y1-7=0,x1=7-2y1点(x1,y1)到A、B的距离分别是（2）设(x1,y1)是方程的解21211)1()1(yxd.)136(5)7()24()7()3(;)136(5)1()28(1212121212121212121yyyyyxdyyyyd1=d2,即点(x1,y1)在线段AB的垂直平分线上.由（1）（2）可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程.【例3】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的任意一点M到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立
5、适当的坐标系，求这条曲线的方程.F.MlBo2解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy.F.MlBoxy【例3】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的任意一点M到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.设点M(x,y)是曲线上任意一点由两点间的距离公式2222(),xyy,)2()2(222yyx.812xy 化简得2(x,y)因为曲线在x轴的上方，所以y0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是.0812）（xxy归纳求曲线方程一般步骤：（）
6、“建系设点”：由已知几何问题，建立适当的平面直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点的坐标。（）条件列式：据几何条件写出满足题设的点集合（）坐标代换：将点的坐标带入几何条件，列出方程f（x，y）（）化简方程：尽可能将方程化成最简形式（）验证说明：验证以方程的解为坐标的点都在曲线上一般地，由于化简方程是同解变形，上述步骤（）可省略不写。但要根据条件做查缺补漏建系设点列方程化简证明（省略）若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()A不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)0 B坐标满足方程f(x，y)0的点均在曲线C上 C曲线C是方程f
7、(x，y)0的曲线 D不是方程f(x，y)0的解，一定不是曲线C上的点 思路探索 从定义入手，考查定义中的两个条件 D C 1.方程x2y21(xy0)的曲线形状是()解析：选C.方程x2y21表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分 故选C.解析：选C.由x2xyx，得x(xy1)0，即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线 故选C.2.方程x2xyx表示的曲线是()A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 C 3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是()Ay2x 与 y Bylg x2 与 y
8、2lg x C.1 与 lg(y1)lg(x2)Dx2y21 与|y|x12yx21x解析：选D.主要考虑x与y的范围.D 4.方程y 所表示的曲线是_ 122 xx211():yxx解析答案：以(1，0)为端点的两条射线 5.已知曲线C的方程为x ，说明曲线C是什 么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积 24y解：由x ，得x2y24，又x0，所以方程x 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S 42.所以所求图形的面积为2.1224y24y1.曲线的方程与方程的曲线的概念。2.求曲线方程的一般步骤 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道；所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道.