1、第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷线性规划求最值T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.卷线性规划求最值T142017卷线性规划求最值T14卷线性规划求最值T5卷线性规划求最值T132016卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算T1不等式比较大小、函数的单调性T8线性规划的实际应用T16卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算T2卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算T1不等式比较大小、函数的
2、单调性T6线性规划求最值T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页悟通方法结论1一元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论全练快速解答1(2018深圳一模)已知ab0，cbcBacbcCloga(ac)logb(bc)D.解析：法一：(性质推理法)A项，因为ab，c0，由不等式的性质可知acbc，故A不正确；B项，因为c0，又ab0，由不等
3、式的性质可得acbc0，即0，再由反比例函数的性质可得ac 10，即loga(ac)b0，cbc0，ba0，即0，所以，故D正确综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a4，b2，c2.则A项，ac8，bc4，所以acbc，排除A；B项，ac42，bc22，所以acbc，排除B；C项，loga(ac)log4(42)log4 6，logb(bc)log2(22)2，显然log4 62，即loga(ac)logb(bc)，排除C.综上，选D.答案：D2(2018湖南四校联考)已知不等式mx2nx0的解集为，则mn()A.BC.D1解析：由题意得，x和x2是方程mx2nx0的两根，所以2且2
4、(m0，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以0x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.解析：根据题意，由于12x(aa2)4x0对于一切的x(，1恒成立，令2xt(00aa2，故只要求解h(t)(0，所以4a24a30，解得a，故实数a的取值范围为.答案：C5设函数f(x)则使得f(x)1成立的x的取值范围是_解析：由得0x9，由得1x0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解2掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f
5、(x)a对一切xI恒成立f(x)mina；f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxg(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等基本不等式授课提示：对应学生用书第10页悟通方法结论求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立全练快速解答1(2018长春模拟)已知x0，y0，且4xyxy，则xy的最小值为()A8 B9C1
6、2D16解析：由4xyxy得1，则xy(xy)14259，当且仅当，即x3，y6时取“”，故选B.答案：B2(2017高考天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：43(2017高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通
7、过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值 简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页悟通方法结论平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决全练快速解答1(2017高考全国卷
8、)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A3,0B3,2C0,2D0,3解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：yx，平移直线l0，当直线zxy过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线zxy过点B(0,3)时，z取得最小值3，所以zxy的取值范围是3,2答案：B2已知平面上的单位向量e1与e2 的起点均为坐标原点O，它们的夹角为.平面区域D由所有满足e1e2的点P组成，其中那么平面区域D的面积为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1(1,0)，e2，设向量(x，y)，因为e1e2，所以即因为所以表示的平面区域D如图中阴影部分所
9、示，所以平面区域D的面积为，故选D.答案：D3(2018福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x4y0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值由得即P(20
10、0,900)，所以zmax1 5002002 0009002 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤练通即学即用1(2018湘东五校联考)已知实数x，y满足且zxy的最大值为6，则(x5)2y2的最小值为()A5B3C.D.解析：作出不等式组 表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zxy，得yxz，平移直线yx，由图形可知当直线yxz经过点A时，直线yxz的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即xy6.由得A(3,3)，直线yk过点A，k3.(x5)2y2的几何意义是可行域内的点与D(5,0)的距离的平方，数形结合可知，(5
11、,0)到直线x2y0的距离最小，可得(x5)2y2的最小值为25.故选A.答案：A2已知变量x，y满足约束条件记z4xy的最大值是a，则a_.解析：如图所示，变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示作出直线4xy0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由解得所以A(1，1)，此时z4113，故a3.答案：33(2018高考全国卷)若x、y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示由z3x2y得yx.作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择
12、题1已知互不相等的正数a，b，c满足a2c22bc，则下列等式中可能成立的是()AabcBbacCbcaDcab解析：若ab0，则a2c2b2c22bc，不符合条件，排除A，D；又由a2c22c(bc)得ac与bc同号，排除C；当bac时，a2c22bc有可能成立，例如：取a3，b5，c1.故选B.答案：B2已知ba0，ab1，则下列不等式中正确的是()Alog3a0B3abClog2alog2b0可得log3alog31，所以a1，这与ba0，ab1矛盾，所以A不正确；对于B，由3ab可得3ab31，所以ab1，可得a1a0，ab1矛盾，所以B不正确；对于C，由log2alog2b2可得lo
13、g2(ab)2log2，所以aba0，ab12，所以aba0，ab1，所以3326, 所以D不正确，故选C.答案：C3在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)0的解集是(2,3)，则ab()A1B2C4D8解析：由题知(xa)(xb)(xa)1(xb)0，即(xa)x(b1)0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(xa)x(b1)0的两根之和等于5，即ab15，故ab4.答案：C4已知aR，不等式1的解集为P，且2P，则a的取值范围为()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：2P，1或2a0，解得a2或af(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3
14、,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析：由题意得，f(1)3，所以f(x)f(1)，即f(x)3.当x3，解得3x3，解得x3或0x1.综上，不等式的解集为(3,1)(3，)答案：A7已知实数x，y满足如果目标函数z3x2y的最小值为0，则实数m等于()A4B3C6D5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z3x2y所对应的直线经过点A时，z取得最小值0.由求得A.故z的最小值为32，由题意可知0，解得m5.答案：D8若对任意正实数x，不等式恒成立，则实数a的最小值为()A1B.C.D.解析：因为，即a，而(当且仅当x1时取等号)，所以a.
15、答案：C9(2018太原一模)已知实数x，y满足条件则zx2y2的取值范围为()A1,13B1,4C.D.解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得zx2y2的最小值为点O到直线BC：2xy20的距离的平方，所以zmin2，最大值为点O与点A(2,3)的距离的平方，所以zmax|OA|213，故选C.答案：C10(2018衡水二模)若关于x的不等式x24ax3a20)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A.B.C.D.解析：关于x的不等式x24ax3a20)的解集为(x1，x2)，16a212a24a20，又x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，当且仅当
16、a时取等号x1x2的最小值是.答案：C11某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值zmin36 800(元)答案：C12(2018淄博模拟)已知点P(x，y)(x，y)|M(2，1)，则(O为坐标原点
17、)的最小值为()A2B4C6D8解析：由题意知(2，1)，(x，y)，设z2xy，显然集合(x，y)|对应不等式组所表示的平面区域作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z2xy对应的直线经过点A时，z取得最小值由得A(2,2)，所以目标函数的最小值zmin2(2)26，即的最小值为6，故选C.答案：C二、填空题13(2018青岛模拟)若a0，b0，则(ab)的最小值是_解析：(ab)213，因为a0，b0，所以(ab)3232，当且仅当，即ab时等号成立所以所求最小值为32.答案：3214(2018高考全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：由不等式
18、组画出可行域，如图(阴影部分)，xy取得最大值斜率为1的直线xyz(z看做常数)的横截距最大，由图可得直线xyz过点C时z取得最大值由得点C(5,4)，zmax549.答案：915(2018石家庄模拟)若x，y满足约束条件则z的最小值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z表示区域内的点与点P(3,2)连线的斜率由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin.答案：16已知ab1，且2logab3logba7，则a的最小值为_解析：令logabt，由ab1得0t1,2logab3logba2t7，得t，即logab，ab2，所以aa11213，当且仅当a2时取等号. 故a的最小值为3.答案：3
