1、第7讲 数学归纳法 考纲要求考点分布考情风向标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2012年新课标卷考查利用数学归纳法证明不等式；2014年大纲卷考查利用数学归纳法证明不等式；2014年广东卷考查利用数学归纳法证明等式数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；数学归纳法也是文理科高考的一个重要区别，一般在数列的推理与证明过程中体现1运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可2用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、
2、数列通项公式、整除性问题、几何问题等条时，第一步检验第一个值 n0 等于()A1B2C3D4且 n1)时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的项数是()1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条2用数学归纳法证明：1121312n1n21 对于 nn0 的正整数 n 都成立，则n0 的最小值为_.考点1 对数学归纳法的两个步骤的认识例 1：(1)对于不等式 n2nn1(nN*)，某人的证明过程如下：当 n1 时，12111，不等式成立假设 nk(kN*)时不等式成立，即 k2kk1，则nk1时，k12k1 k23k2 k23k2k2k22(k1)1.当 nk1
3、 时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1 验得不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk1 的推理不正确解析：上述证明过程中，在由nk 变化到nk1 时，不 等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设故选 D.答案：D(2)用数学归纳法证明 1121312n11)时，第一步应验证不等式()A1122 B112132C112133 D11213141，n 取的第一个数为 2，左端分母最大的项为122113.故选 B.【规律方法】用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个 方面：n 的范围以及递推的起点；观察首末两项的次数或其他，确定nk 时命题的形式fk；从fk1和fk的差异，寻找由k 到
4、k1 递推中，左边要加或乘的式子.【互动探究】1用数学归纳法证明 1aa2an1an1(a1，1anN*)时，在验证 n1 时，左边计算所得的式子是()BA1C1aa2B1aD1aa2a4解析：n1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是 1a.2.用数学归纳法证明不等式 1n1 1n2 1nn1324的过程中，由 k 推导到 k1 时，不等式左边增加的式子是_.12k12k2答案：解析：当 nk 时，左边 1k1 1k2 1kk.当 nk1 时，左边 1k2 1k31k1k1.故左边增加的式子是12k112k2 1k1，即12k12k2.n(n1)(an2bnc)对一切正整数 n 都
5、成立？证明你考点2 用数学归纳法证明恒等式命题例2：是否存在常数 a，b，c，使等式 1222322nn112的结论思维点拨：从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有 3个未知数，先取 n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法 对一切 nN*，等式都成立(3n211nabc24，解：把 n1,2,3 代入得方程组 4a2bc44，9a3bc70，a3，解得 b11，c10.猜想：等式122232n(n1)2nn11210)对一切 nN*都成立(3k211k10)，下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，由上面可知等式成立(2)假设 nk 时等式成立，即 122232k(k1)2kk11
6、2kk1kk1则122232k(k1)2(k1)(k2)212(3k211k10)(k1)(k2)212(3k5)(k2)(k1)(k2)2k1k212k(3k5)12(k2)k1k2123(k1)211(k1)10当 nk1 时，等式也成立综合(1)(2)，对nN*等式都成立【规律方法】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证.从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3个未知数，先取n1，2，3，列方程组求得，然后用数学归纳 法对一切nN*，等式都成立.，左边右边，所以等式
7、成立【互动探究】3用数学归纳法证明：当 nN*时，113 1351 n2n12n1 2n1.证明：(1)当n1 时，左边1 113 3右边121113k1k1(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有113 13512k12k1k2k1，则当 nk1 时，113 13512k12k112k12k3k 12k1 2k12k3 k2k312k12k3 2k23k12k12k32k3 2k11，所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立考点3 用数学归纳法证明整除性命题 例3：试证：当n 为正整数时，f(n)32n28n9能被 64整除 证明：方法一：(1)当n1时，f
8、(1)348964，命题显然成立 (2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除 由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立 根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立 方法二：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立 (2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除 由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中，得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9
9、mk1)，当nk1时命题成立 根据(1)(2)可知，nN*，命题都成立【互动探究】4求证：二项式 x2ny2n(nN*)能被 xy 整除 证明：(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立 (2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2)，显然x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题成立 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立难点突破 利用数学归纳法证明不等式 例题：(2012年大纲)函数f(x)x22x3.定义数列x
10、n如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式.(1)证明：因为 f(4)42835，故点 P(4,5)在函数 f(x)的图象上.故由所给出的两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn)可知，直线 PQn 斜率一定存在.故有直线 PQn 的直线方程为 y5fxn5xn4(x4).令 y0，可求得5x2n2xn8xn4(x4)5xn2x4 x4xn3xn2.所以 xn14xn3xn2.下面用数学归纳法证明 2xn3.当 n1 时，x12，满足 2x13，假设 nk 时，2xk3 成立，则当 n
11、k1 时，xk14xk3xk2 45xk2.由 2xk34xk2515xk2542114 45xk23，即 2xk13 也成立.综上可知，2xn3 对任意正整数恒成立.下面证明 xnxn1.由 xn1xn4xn3xn2 xn4xn3x2n2xnxn2xn124xn2，由 2xn31xn120(xn1)243，故有 xn1xn0，即 xnxn1.综上可知，2xnxn13 恒成立.(2)解：由 xn14xn3xn2，得到该数列的一个特征方程 x4x3x2，即 x22x30.解得 x3 或 x1.xn134xn3xn2 3xn3xn2，xn1(1)4xn3xn2 15xn5xn2.两式相除可得xn1
12、3xn1115xn3xn1.而x13x11232113，故数列xn3xn1 是以13为首项以15为公比的等比数列.即xn3xn11315n1，故 xn95n1135n113435n11.1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.用数学归纳法证明问题时应注意第一步验证nn0时，n0并不一定是1.3.用数学归纳法证明时，从nk到nk1的关键是，要弄清nk和nk1时的结论分别是什么，此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.紧盯nk1时的结论，对nk时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是nk1时的结论，这就是所谓的“凑假设，凑结论”.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.