1、椭圆一、选择题1椭圆1的离心率为()A. B.C. D.解析 a216，b28，c28.e.答案 D2中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意知：2a18，a9,2c2a，c3，b2a2c281972，椭圆方程为1.答案A3椭圆x24y21的离心率为()A. B. C. D.解析先将x24y21化为标准方程1，则a1，b，c.离心率e.答案A4设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，则点P的横坐标为()A1 B. C2 D.解析由题意知，点P即为圆x2y23与
2、椭圆y21在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.答案D5. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（）A BC D答案D6若P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析在RtPF1F2中，设|PF2|1，则|PF2|2.|F1F2|，e.答案A7椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.解析 根据已知a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，故所求的椭圆
3、的离心率为.答案B二、填空题8设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_解析 由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6.|PF1|2564.答案 49以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于_解析 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点， P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，PAB是一个直角三角形，且BAP30，所以APABcos30c，BPc，根据椭圆定义APBP2a，故cc2a，所以e1.答案 110若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆
4、x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.答案111已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2将y2b2x2代入式
5、解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案12. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍解析 不妨设F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.答案 7三、解答题13设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围解析 (1)由题意知a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)设P(x，y
6、)(x0，y0)，(x，y)，(x，y)由，得x2y23.联立解得点P(1，) (2)可设l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx2代入椭圆方程，得(14k2)x216kx120.由(16k)24(14k2)120，得k2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20.即(1k2)x1x22k(x1x2)42k()40.所以k24.由可知k24，故k的取值范围是(2，)(，2)14如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹
7、C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解析(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x2225，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB| .15设A，B分别为椭圆1(ab0)的左，右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：MBN为钝角解析 (1)依题意，得a
8、2c，b2a2c23c2，设椭圆方程为1，将代入，得c21，故椭圆方程为1.(2)证明由(1)，知A(2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则2x02，y(4x)，由P，A，M三点共线，得x，(x02，y0)，2x04(2x0)0，即MBP为锐角，则MBN为钝角16已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意
9、得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，ZXXK即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)|PM|2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略0这一隐含条件，结果会造成两解.