1、第10讲导数的概念及运算考纲解读1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义2能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数yf(x)，叫做
2、函数yf(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数yf(x)图象上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率物理意义若函数yf(x)表示变速运动的质点的运动方程，则就是该质点在x1，x2上的平均速度(2)导数定义一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记为f(x0)或y|xx0，即f(x0) 几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是函数图象在该点处切线的斜率曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)物理意义函数yf(x)表示变速运动的质点的运动方程，则函数在xx0处的导数就是质点在xx
3、0时的瞬时速度2导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C0(C为常数)幂函数(x)x1(Q*)三角函数(sinx)cosx，(cosx)sinx偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数，周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)axln_a(a0，且a1)(ex)ex对数函数(logax)(x0，a0，且a1)(ln x)(x0)四则运算法则加减f(x)g(x)f_(x)g(x)乘法f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)cf (x)除法复合函数导数复合函数yfg(x)的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数之间具有关系yxyuux，这个关系用语言表达就是“y对x的导数等
4、于y对u的导数与u对x的导数的乘积”1概念辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()(4)函数f(x)sin的导数f(x)cos.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)；(e1x)e1x；x.A1 B2 C3 D4答案A解析中，(3x)3xln 3，错误；中，(log2x)，正确；中，(e1x)e1x，错误；中，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程
5、为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A. B. C. D.答案D解析s2t，当t2时，s22，所以该机器人在t2时的瞬时速度为.(3)函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为()A10 B5 C1 D答案D解析f(x)x34x5，f(x)3x24，f(1)7，即切线的斜率为7，又f(1)10，故切点坐标为(1,10)，切线的方程为y107(x1)，当y0时，x，切线在x轴上的截距为.(4)已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_.答案e2解析设切点为(x0，y0)，则f(x0)e x01，e x0a，又e x0x01，x02，a
6、e2.题型一导数的运算1(2019华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x3x2x，则f(1)_.答案0解析因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x1.所以f3221.解得f1.所以f(x)3x22x1，所以f(1)0.2求下列函数的导数：(1)y(2x21)(3x1)；(2)yxsin2xcos2x；(3)yexcosx；(4)y.解(1)因为y(2x21)(3x1)6x32x23x1，所以y18x24x3.(2)因为yxsin2xcos2x，所以yxsin4x，所以y1cos4x412cos4x.(3)y(excosx)(ex)cosxex(cosx)e
7、xcosxexsinxex(cosxsinx)(4)y.1.谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导如举例说明2(2).3.求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数.(2)由外向内逐层求导如举例
8、说明2(4)中对ln (2x1)的求导.求下列函数的导数：(1)yln x；(2)y；(3)y(x22x1)e2x.解(1)y(ln x).(2)y.(3)y(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.题型二导数的几何意义角度1求切线方程1.过点(1，2)且与yx33x相切的直线方程为()A.y2或9x4y10B.y2C.9x4y10D.y0或9x4y10答案A解析y3x23，设切点坐标为(x0，x3x0)，此时在切点处的斜率为yxx03x3，所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点(1，2)代入切线方程，整理得2x3x1
9、0，即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0，分别代入切线方程可得y2或9x4y10.2.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_.答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.角度2求切点坐标3.(2019广州模拟)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A.(0,0) B(1，1)C.(1,1) D(1，1)或(1,1)答案D解析f(x)(x3ax2)3x22ax，由题意得f(x0)1，x0f(x0)0，所以由知x00，故可化为1x
10、ax00，所以ax01x，代入得3x2(1x)1，即x1，解得x01.当x01时，a2，f(x0)xax1；当x01时，a2，f(x0)xax1，所以点P的坐标为(1，1)或(1，1).角度3求参数的值(范围)4.(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 Bae，b1C.ae1，b1 Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.5.若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范
11、围是()A. B.C.(0，) D0，)答案D解析f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)如举例说明2.(2)求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点
12、法”，即：设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程. 1.若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a()A.e B2e Ce D2e答案B解析依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有解得x0，则a2e，故选B.2.已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x3ln x，则曲线yf(x)在点(1，1)处的切线的斜率为_.答案2解析因为当x0时，f(x)x3ln x，所以当x0，f(x)(x)3ln (x)，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)x3ln (x)，则f(x)3x2，所以f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，1)处的切线的斜率为2.3.已知直线l为曲线y在点(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为时，实数a的值为_.答案0或解析因为y，所以切线l的斜率为1a，则切线l的方程为ya(1a)(x1)，令x0得y2a1.令y0得x.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为|2a1|，即|2a1|2|a1|.则4a24a11a，或4a24a1a1，由方程解得a0或a，方程无解.所以a0或a.