1、第9讲 函数的图象 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握基本初等函数的图象，能够利用函数的图象研究函数的性质2.理解基本函数图象的平移、伸缩和对称变换，会求变换后的函数解析式2011年新课标卷第12题以两曲线的交点个数为背景，考查反比例函数、正弦函数的图象及函数的周期性、图象变换等性质；2013年新课标卷考查函数图象的辨析；2015年新课标卷考查函数图象关于直线对称求参数函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时主要在识图、用图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，能借助函数的图象，研究函数的奇偶性、单调性、对称性等；并能借助函数的图象，研究
2、函数的最值及方程根的分布等1函数图象的作图方法以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法2三种图象变换(1)平移变换：把 yf(x)的图象沿 y 轴方向平移|b|个单位长度后可得到yf(x)b(b0)的图象，当 b0 时，向上平移；当 b0 时，向左平移；当 a1 时)或缩短(当 0A0，A1)的图象把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长(当 0w1 时)到原来的_倍，纵坐标不变，就得到 yf(wx)(w0，w1)的图象1w(3)对称变换：yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)；yf(x)；yf(x)；yf(|x|)；y|f(x)|.1(2013 年
3、福建)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是()ACBD解析：f(x)ln(x21)为偶函数，f(0)0.故选 A.A2(2013 年湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()CABCD解析：时间越长，离学校越近，A 显然错误；途中因交通 堵塞停留了一段时间，距离不变，D 错误；开始时匀速行驶，后为了赶时间加快速度行驶，后面的直线应该陡一些故选 C.)C3函数 ylg|x|的图象大致是(ACBD4方程|x|cosx 在(，)内()CA没有根C有且仅有两个根B有且仅有一个根D有无穷多个根解析：构造两个函数 y|x
4、|和 ycosx，在同一个坐标系内 画出它们的图象，如图 D6，观察知图象有两个公共点，所以已 知方程有且仅有两个根 图 D6考点 1 函数图象的辨析x0)的图象可能为()ABCD例 1：(1)(2015 年浙江)函数 f(x)x1x cosx(x，且答案：D解析：因为 f(x)x1x cosxx1x cosxf(x)，故函数是奇函数，所以排除 A，B；取 x，则 f()1 cos1 0.故选 D.(2)(2013 年新课标)函数 f(x)(1cosx)sinx 在，的图象大致为()ACBD解析：在，上，f(x)1cos(x)sin(x)(1cosx)(sinx)(1cosx)sinxf(x)
5、，f(x)是奇函数f(x)10，排除 A.f(x)(1cosx)sinx，f(x)sinxsinx(1cosx)cosx1cos2xcosxcos2x2cos2xcosx1.由 f(0)0，排除 D.故选 C.答案：C的图象关于原点对称，排除 B.取 x2，则 f2 1cos2 sin2(3)函数 yxln|x|x|的图象可能是()ACBD解析：方法一，函数yxln|x|x|的图象过点(e,1)，排除 C，D；函数y xln|x|x|的图象过点(e，1)，排除 A.方法二，由已知，设 f(x)xln|x|x|，则 f(x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数，排除 A，C；当x0 时，f(x)l
6、nx 在(0，)上为增函数，排除 D.答案：B【规律方法】函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图.作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现.考点 2 函数图象的应用例 2：(1)(2015 年北京)如图 2-9-1，函数 f(x)的图象为折线)ACB，则不等式 f(x)log2(
7、x1)的解集是(图 2-9-1Ax|1x0Cx|1x1Bx|1x1Dx|1x2解析：如图 D7，把函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位 得到 ylog2(x1)的图象，x1 时两图象相交，不等式的解为1x1，用集合表示解集选 C.图 D7答案：C(2)(2015 年安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y 2a 与函数 y|x a|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_解析：在同一直角坐标系内，作出 y2a 与 y|xa|1图 D8答案：12的大致图象，如图D8，由题意，可知2a1a.12【规律方法】(1)题考查作基本函数图象和函数图象变换及 利用函数图象解不等式等有关知识，首先
8、是函数图象平移变换，把 ylog2x 沿 x 轴向左平移1 个单位，得到 ylog2(x1)的图象，要求正确画出图象，利用数形结合写出不等式的解集；(2)题根据题意作出函数 y|xa|1 的大致图象是解决本题的关键，主要考查同学们的数形结合能力【互动探究】(2011 年新课标)函数 y 11x 的图象与函数 y 2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()DA2B4C6D8解析：用图象法求解y 11x的对称中心是(1,0)也是 y2sinx(2x4)的中心，它们的图象在 x1 的左侧有4 个交 点，则在 x1 的右侧也有 4 个交点不妨把它们的横坐标由小 到大设为 x1，x2，x3，
9、x4，x5，x6，x7，x8，则 x1x8x2x7x3x6x4x52.故选 D.考点 3 函数图象的变换例 3：(1)下列说法中，正确命题的个数为()函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于直线 y0 对称；函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于坐标原点对称；如果函数 yf(x)对于一切 xR，都有 f(ax)f(ax)，那么 yf(x)的图象关于直线 xa 对称；函数 yf(x1)与 yf(1x)的图象关于直线 x1 对称A1B2C3D4解析：对于，把函数 yf(x)中的 y 换成y，x 保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于 x 轴(即直线 y0)对称；对于，把函数 yf(
10、x)中的 x 换成x，y 换成y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于，若对于一切x R，都有 f(a x)f(a x)，则 f(x)的图象关于直线x axax2a 对称；对于，因为函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称，它们的图象分别向右平移 1 个单位长度得 到函数y f(x 1)与y f(1 x)的图象；即y f(x 1)与y f(1x)的图象关于直线 x1 对称 答案：D(2)(2015 年新课标)设函数 yf(x)的图象与 y2xa的图象关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则 a()A1B1C2D4解析：设(x，y)是函数 yf(x)的图象上任意一
11、点，它关于直 线 yx 对称为(y，x)，由已知知(y，x)在函数 y2xa的图象上，x2ya.解得ylog2(x)a，即 f(x)log2(x)a，f(2)f(4)log22alog24a1.解 得 a2.故选 C.答案：C(3)(2013 年北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()解析：与 yex 的图象关于 y 轴对称的图象对应的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位，得yex的图象 答案：DAf(x)ex1Bf(x)ex1Cf(x)ex1Df(x)ex1象f(x)的图象由yex的图象向左平移1
12、个单位得到f(x)e(x1)ex1.【规律方法】本题考查的是作图，作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；函数图象的变换主要 有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换.要特别注意平移变换与伸缩变换顺序不同而带来的不同结果.思想与方法用数形结合的思想讨论方程根的分布(2)求 f(x)的单调区间；(3)若 f(x)在 x2 处取得极值，直线 ya 与 yf(x)的图象有 3 个不同的交点，求 a 的取值范围例题：已知函数 f(x)13x3mx2，其中 m 为实数(1)函数 f(x)在 x1 处的切线斜率为13，求 m 的值；x(，2m)2m(2m,0)0(0，)f(x)00f(x)递增
13、极大值递减极小值递增当 m0 时，x 变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：此时函数 f(x)的单调递增区间是(，2m)和(0，)，单调递减区间是(2m,0)；解：(1)f(x)x22mx，f(1)12m，由 12m13，解得 m13.(2)f(x)x22mxx(x2m)当 m0 时，f(x)13x3，在(，)上单调递增；x(，0)0(0，2m)2m(2m，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增当 m0 时，f(x)的单调递增区间是(，2m)和(0，)，单调递减区间是(2m,0)；当 m0 时，f(x)的单调递增区间是(，0)和(2m，)，单调递减区间是(0，2m)(3)由题意，
14、得 f(2)0.解得 m1.所以 f(x)13x3x2.由(2)知，f(x)在区间(，2)上单调递增，在(2,0)上单调递减，在(0，)上单调递增所以 f(x)极大值f(2)43，f(x)极小值f(0)0.作出 f(x)的大致图象如图 2-9-2，要使直线 ya 与 yf(x)的图象有3个不同的交点，只需0a43，即a的取值范围是0，43.图 2-9-2【规律方法】可以继续探讨：若直线 ya 与 yf(x)的图象只有一个交点，则 a 的取值范围为(，0)43，；直线 ya 与 yf(x)的图象有两个不同的交点，则 a 的取值范围为0，43.1列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y的图象21x2合理处理识图题与用图题(1)识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系(2)用图：用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现