1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式必备知识自主学习导思1.怎样求两条直线的交点？2怎样求两点间的距离？1.两条直线的交点坐标(1)定义：已知两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，将方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行(2)本质：用代数方法求平面内两条直线的交点坐标对于l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，
2、若方程组有无数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？提示：方程组有无数组解，直线l1，l2有无数个公共点，直线l1，l2重合2两点间的距离公式(1)公式：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|，特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)本质：用代数方法求平面内两点之间的距离两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|？为什么？提示：能，因为.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组()(2)两直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20相交的充要条件是
3、A1B2A2B10.()(3)方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，表示经过直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的所有直线()(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关()提示：(1).由两直线方程组成的方程组的解同时满足两个方程，在两条直线上，所以是交点坐标(2).两直线l1与l2相交，需(分母不为零)，转化为整式即为A1B2A2B10，也去掉了分母的限制条件(3).无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.(4).两点间的距离公式包含差的平方，所以与两点的先后顺序无关2直线x1与直线y2的交点坐标是()A(1，2) B(2，1) C(
4、1，1) D(2，2)【解析】选A.直线x1与直线y2是互相垂直的直线，其交点坐标是(1，2).3已知M(2，1)，N(1，5)，则|MN|等于()A5 B C D4【解析】选A.|MN|5.4(教材二次开发：例题改编)已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是_.【解析】l1与l2相交，则有：，所以a2.答案：a2关键能力合作学习类型一求两条直线的交点坐标(数学运算)1直线4x2y20与直线3xy20的交点坐标是()A(2，2) B(2，2)C(1，1) D(1，1)2(多选题)若三条直线l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0不能围
5、成三角形，则a的取值可以为()Aa1 Ba1 Ca2 Da23经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程是_【解析】1.选C.解方程组得所以交点坐标为(1，1).2选ABC.由题意可得 l1和l3平行，或l2和l3平行，或l1和l2平行若l1和l3平行，则，求得a1；若l2和l3平行，则 ，求得a1.若 l1和l2平行，则，求得a1.当三条直线l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0交于同一个点时，a2；综上可得，实数a所有可能的值为1，1，2，故选：ABC.3方法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2，2).因为直线过坐标原点，所以其斜率k
6、1.故直线方程为yx，即xy0.方法二：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0，0)代入上式，得1，所以直线l的方程为5x5y0，即xy0.答案：xy0过两条直线交点的直线方程求法求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可用过两条直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程过直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系有两种：1(A1xB1yC1)2(A2xB2
7、yC2)0可表示过l1，l2交点的所有直线；A1xB1yC1(A2xB2yC2)0不能表示直线l2.【补偿训练】1.两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是()A24B6C6D24【解析】选C.设交点P(0，y)，代入2x3yk0，得y.所以P，代入xky120，得0120，所以k6.2若三条直线2x3y80，xy10，xky0相交于一点，则k的值为()A2 B C2 D【解析】选B.易求直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1，2)，代入xky0，得k.3过直线2xy20和xy10的交点，且斜率为3的直线方程是_【解析】解方程组得所以两直线的交点坐标为(1，0)，又所
8、求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y03x(1)，即3xy30.答案：3xy30 类型二过定点的直线(数学运算，直观想象)【典例】求证：不论为何实数，直线(2)x(1)y63都恒过一定点四步内容理解题意条件：直线方程：(2)x(1)y63结论：直线恒过定点思路探求给任取两个特殊值，得两条直线的方程，联立得交点；也可整理为关于的一次式，令系数与常数项都为零解得交点续表四步内容书写表达证明：方法一：(特殊值法)取0，得到直线l1：2xy30，取1，得到直线l2：x3，故l1与l2的交点为P(3，3).将点P(3，3)代入方程左边，得(2)(3)(1)363，所以点(3，3)在直线(2)x(1)y
9、63上所以直线(2)x(1)y63恒过定点(3，3).方法二：(分离参数法)由(2)x(1)y63，整理得(2xy3)(xy6)0.则直线(2)x(1)y63通过直线2xy30与xy60的交点由方程组得所以直线(2)x(1)y63恒过定点(3，3).题后反思交点一定是二元一次方程组的解解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1xB1yC1(A2
10、xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标【解析】方法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3).将点(2，3)代入直线方程，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).方法二：将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0，整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所
11、以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).类型三两点间的距离(数学运算，直观想象)【典例】已知ABC三顶点坐标A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)，试判断ABC的形状【思路导引】计算三角形的各边长，通过长度获得关系；或者由斜率获得关系【解析】方法一：因为|AB|2，|AC|2，又|BC|2，所以|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，所以ABC是等腰直角三角形方法二：因为kAC，kAB，则kACkAB1，所以ACAB.又|AC|2，|AB|2，所以|AC|AB|，所以ABC是等腰直角三角形判断三角形形状的方法在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考
12、察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理已知点A(2，1)，B(4，3)，C(0，5).求证：ABC是等腰三角形【证明】因为|AB|2，|AC|2，|BC|2，所以|AC|BC|.又因为点A，B，C不共线，所以ABC是等腰三角形备选类型坐标法证题(直观想象，逻辑推理)【典例】在ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AD|2|BD|DC|AB|2，求证：ABC为等腰三角形【思路导引】在图形中建立坐标系，设点，说明|AB|AC|.【解析】如图，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设A
13、(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0).因为|AD|2|BD|DC|AB|2，所以由两点间距离公式，可得d2a2(db)(cd)b2a2，化简得(cb)(db)0.又db0，所以cb0，即bc，所以|OB|OC|，所以|AB|AC|，即ABC为等腰三角形坐标法解决几何问题关键坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决建系的原则主要有两点：让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.【证明】如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c).所以|AC|，|BD|.故|AC|BD|.关闭Word文档返回原板块