1、北京市第四十三中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （答案填在答题纸上）1. 若集合，或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】因为，或，所以，故选：C2. 设，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等
2、式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.【详解】命题“，”的否定是：，故选【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.4. 下列哪一组函数相等（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】结合函数的三要素，对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，函数的定义域为，函数，其定义域为，故和不是相同函数；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故和不是相
3、同函数；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故和不是相同函数；对于D，函数的定义域为，函数，其定义域为，所以和是相同函数.故选：D.5. 已知为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合已知条件逐个判断即可【详解】解：对于A，因为，所以当时，当时，所以A不一定成立；对于B，因为，所以当时，当时，所以B不一定成立；对于C，因为，为非零实数，且，所以，所以，所以C一定成立；对于D，因，且，所以当时，当时，所以D不一定成立，故选：C【点睛】此题考查不等式的性质的应用，属于基础题6. 函数的零点是（ ）A. B. 0C. 1D. 2
4、【答案】A【解析】【分析】分和两种情况，分别求函数的零点即可.【详解】当时，令，则，解得，不满足，舍去；当时，令，则，解得，满足.所以，函数的零点是.故选：A.7. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，解不等式即可.【详解】由题意可得：，解得：或，所以函数的定义域是，故选：C8. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】二次函数与轴有两个交点,可知,求解即可.【详解】二次函数有两个不同的零点,则,解得或.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的零点,考查学生的计算求解能力,属于基础题.9. 已知函数，
5、且，则函数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，得函数为奇函数，可得，令得答案.【详解】，令，其中，所以函数为奇函数，即，可得，令，得，解得，故选：C【点睛】本题考查构造函数，利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.10. 设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先可根据函数在上为增函数，且，得出函数在上的函数值的正负情况，然后根据函数是偶函数，得出函数在上的函数值的正负值情况，最后将转化为，结合函数值的大小即可得出结果.【详解】因为函数在上为增函数，所以当时，当时，因为函数是偶函数，所以当时，当时，即，与的
6、符号相同，故不等式的解集为，故选：A.【点睛】本题考查抽象不等式的求解，利用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查推理能力，是基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（答案填在答题纸上）11. 设函数，则 _【答案】15【解析】【分析】先求内层函数值，再求外层函数值即可，【详解】函数，故答案为：15【点睛】本题考查由分段函数求解函数值，属于基础题12. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.13.
7、已知函数，求的解析式_.【答案】【解析】【分析】利用换元法，令，则，可求得，从而求得.【详解】令，则，所以，所以，故答案为：【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，
8、利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.14. 一元二次不等式的解集是，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集以及一元二次方程根与系数的关系列方程组，解方程组求得，由此求得的值.【详解】根据题意，一元二次不等式的解集是，则方程的两根为和，则有，解可得，则.故答案为：【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.15. 已知函数，则函数的最小值为_【答案】3【解析】【分析】化简函数得，再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】由题得，因为，所以，当且仅当时取等.所以函数的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最
9、小值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 函数满足下列性质：（）定义域为，值域为（）图象关于对称（）对任意，且，都有请写出函数的一个解析式_（只要写出一个即可）【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，此时对称轴为，开口向上，满足（），因为对任意，且，都有，等价于在上单调减，满足（），又，满足（），故答案为【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题：本大
10、题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知全集为，集合，集合，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】解一元二次不等式，进而可求出集合，然后可求出和.【详解】由题意，集合，集合或，（1）或.（2）由，可得或，所以或或或.18. 已知函数（1）将函数写出分段函数的形式，并画出图象；（2）根据图象写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)（3）根据图象求出满足条件的的取值范围【答案】（1），图象见解析；（2）在上是减函数，在上是增函数；（3）【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义，可将写出分段函数的形式，进而画出
11、图象即可；（2）由图象可得出函数的单调区间；（3）作出直线的图象，可求出与的图象的交点，根据图象可求得满足条件的的取值范围.【详解】（1）由题意，画出函数的图象，如下图所示.（2）由图象可知，函数在上是减函数，在上是增函数.（3）如下图，作出直线的图象，由，解得或，所以直线与的图象有两个交点，分别为和，根据图象可知，满足条件的的取值范围是.19. （1）如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.（2）如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，.【解析】【分析】（1）根据
12、奇函数的图象关于原点对称即可画出，进而根据图象求出f(3)的值；（2）根据偶函数的图象关于y轴对称即可画出，进而根据图象比较f(1)与f(3)的大小.【详解】(1)由奇函数的图象关于原点对称,可作出它在y轴右侧的图象，如下图，易知f(3)2；(2)由偶函数的图象关于y轴对称可作出它在y轴右侧的图象，如下图，易知f(1)f(3).【点睛】本题考查奇偶函数的图象性质，属于基础题.20. 已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，由函数的解析式分析可
13、得，即可得结论；（2）根据题意，设，由作差法分析可得答案【详解】（1）证明：根据题意，函数，有，即，函数的定义域为，则函数为奇函数；（2）证明：设，则，又由，则，则，则函数在上为增函数【点睛】关键点睛：解题关键在于利用函数奇偶性的判定证明为奇函数，并根据定义法证明函数单调性，注意单调性定义的证明步骤即可，属于基础题21. 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之内，其年生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示为（1）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润
14、【答案】（1）吨时每吨成本最低为10元（2）年产量为230吨时，最大年利润1290万元【解析】【详解】（1）设每吨的平均成本为（万元/吨）4分当且仅当，吨时每吨成本最低为10元2分（2）设年利润为（万元）4分当年产量230吨时，最大年利润1290万元2分22. 已知函数.（1）当时，求在区间上的值域；（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围；（3）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）时，求出其在的单调性和最值，即可求解；（2）当时，符合题意，当时，满足即可；（3）分别讨论，时的解集，当时，需要讨论两根的大小，即可求解.【详解】（1）当时，在单调递减
15、，在单调递增，所以，所以在区间上的值域为 （2）当时，在区间上是减函数，符合题意；当时，对称轴为，若函数在区间上是减函数，则为开口向下的抛物线，所以，解得：，综上所述：（3）当时，原不等式即，解得：；此时解集为：当时，方程的两根为，当时，所以不等式的解集为，当时，原不等式可化为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为或，当，即时，不等式的解集为或，综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为或；当时，此时解集为：；当时，不等式的解集为.【点睛】思路点睛：含参数的一元二次不等式分类讨论的方法（1）当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的大小关系；（3）确定无根时可以直接写出解集，确定方程有2个根时要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.