1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定【学习要求】1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2.理解全称命题与特称命题之间的关系.【学法指导】要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系.通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论.本讲栏目开关填一填研一研 练一练 1.全称命题的否定：全称命题 p：xM，p(x)，它的否定綈 p：2.特称命题的否定：特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否定綈 p：3.全称命题的否定是命题.特定命题的否定是命题.x0M，綈
2、 p(x0).xM，綈 p(x).特称全称填一填知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 探究点一 全称命题的否定问题 1 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题 p，如何得到命题 p 的否定(或綈 p)，它们的真假性之间有何联系？答案 对命题 p 全盘否定，可得到命题綈 p，命题 p 和綈 p的真假性相反.研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 问题 2 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？答案(1)存在一个矩形不是
3、平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)x0R，x202x010.原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题.结论 全称命题 p：xM，p(x)，它的否定綈 p：x0M，綈 p(x0)，全称命题的否定是特称命题.研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 例 1 写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被 3 整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意 xZ，x2的个位数字不等于 3.解(1)綈 p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数.(2)綈 p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(3)綈 p：x0Z，x20的个位数字等于 3
4、.小结 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 跟踪训练 1 写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)a，bR，方程 axb 都有惟一解；(4)可以被 5 整除的整数，末位是 0.解(1)是全称命题，其否定：三个给定产品中至少有一个是正品.(2)是全称命题，其否定：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：a，bR，使方程 axb 的解不惟一.(4)是全称命题，其否定：存在被 5 整除的整数，末位不是 0.研一研
5、问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 探究点二 特称命题的否定问题 1 你能写出下列特称命题的否定吗？(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0R，x2010.(2)綈 p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)綈 p：每一个素数都不含三个正因数.小结 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即 p：x0M，p(x0)成立綈 p：xM，綈 p(x)成立.研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假.(1)p：x01，使 x202x030；(2)p：若 an
6、2n10，则nN，使 Sn1，x22x30.(假)(2)綈 p：若 an2n10，则nN，Sn0.(假)研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 探究点三 特称命题、全称命题的综合应用例 3 已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1上至少存在一个实数 c，使得 f(c)0.求实数 p 的取值范围.解在区间1,1中至少存在一个实数c，使得f(c)0的否定是在1,1上的所有实数 x，都有 f(x)0恒成立.又由二次函数的图象特征可知，f10，f10，即42p22p2p10，42p22p2p10，即p1或p12，p32或p3.p32或 p3.故 p 的取值范围是
7、3p32.研一研问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 小结 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.跟踪训练 3 已知下列三个方程：(1)x24ax4a30；(2)x2(a1)xa20；(3)x22ax2a0.若至少有一个方程有实数解，求实数 a 的取值范围.解 当三个方程都没有实数解时，a 应该满足：116a244a30，2a124a20，34a28a0，解得32a12，a13，2a0，即32a0D.对任意 xR，x3x210解析 命题 p：对任意 xR，x3x210 是一个全称命题，其否
8、定为特称命题，即綈 p：存在 x0R，x30 x2010.C 练一练当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 2.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被 2 整除的数是偶数；綈 p：存在一个能被 2 整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是正三角形D.p：xR，x2x20；綈 p：xR，x2x20解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项 C 错误.C 练一练当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 3.命 题“
9、对 任 何 xR，|x 2|x 4|3”的 否 定 是_.4.命 题“零 向 量 与 任 意 向 量 共 线”的 否 定 为_.解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”.存在xR，使得|x2|x4|3有的向量与零向量不共线练一练当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关填一填研一研 练一练 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.本讲栏目开关填一填研一研 练一练