1、第8讲 幂函数 考纲要求考点分布考情风向标1.了解幂函数的概念2结合函数 yx，yx2，yx3，yx1，yx 的图象，了解它们的变化情况2014 年新课标卷以分段函数为背景，考查指数函数、幂函数的单调性从多年的高考试题来看，幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，重点考查函数的单调性(比较大小)命题形式一般为选择题、填空题中的一部分121幂函数的定义一般地，形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数2幂函数的图象图 2-8-1五个常用幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的图象，如图 2-8-1.3幂函数 yx的图象在第一象限内，直线 x1 的右侧，
2、图象由下至上，指数由小到大；y 轴和直线 x1 之间，图象由上至下，指数由小到大性质0，)(，0)单调递减4五个常用幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的幂函数yxyx2yx3yx1定义域RRR_(，0)(0，)值域R0，)R0，)_奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性单调递增在(，0)上，单调递减；在(0，)上，单调递增单调递增单调递增在(，0)上，单调递减；在(0，)上，_定点(0,0)，(1,1)(1,1)yx12(0，)2函数 y的图象是()C1所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是(A(0,0)B(0,1)C(1,1)D(1，1)B13x4如图 2-8-2，曲线是幂函数 yx在第一
3、象限内的图象_.图 2-8-2B3已知幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则 f13()A 3B 33 C13 D19知 分别取1,1，12，2 四个值，则相应图象依次为：c4，c2，c3，c1考点 1 幂函数的概念解：由函数 f(x)在(0，)上是增函数，得2m23m20，2mm20，或2m23m20，2mm212或m2，0m2，或2m2或m0.12m2 或2m0 时，yx在(0，)上为增函数；0，否则0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 01；最后由 x1 时，的值按逆时针方向依次增大得出结论yx23；yx2；yx12；yx1；yx13；yx43；yx12；yx53.001p，q 都
4、 是奇数 p 为奇数，q 为偶数p 为偶数，q 为奇数(2)幂函数 yx(R)的图象如下表：qp【互动探究】2(2013 年四川乐山一模)下面给出 4 个幂函数的图象(如)图 2-8-4)，则图象与函数的大致对应是(图 2-8-4答案：BAyx13；yx2；yx12；yx1Byx3；yx2；yx12；yx1Cyx2；yx3；yx12；yx1Dyx13；yx12；yx2；yx1解析：yx2 为偶函数，对应；yx12定义域 x0，对应；yx1 为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应；yx3与 yx13均为奇函数，但 yx3 比 yx13增长率大，故对应 yx3.考点 3 比较大小 例 3：若 x0
5、是方程12xx13的解，则 x0 属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12 D.0，13答案：C解析：设 f(x)12xx13，f(0)10，f13 12131313，由于幂函数 yx13单调递增，得 f13 121313130；f12 12121213，由于指数函数 y12x 单调递减，得 f12 121212131 时单调递增，0a0 时在第一象限单调递增，bcCbcaBbacDcba解析：y0.6x是减函数，4.2c；yx4.2是增函数，0.70.6，ba.bac.故选 B.易错、易混、易漏 对幂函数 yx0 理解不透彻都无交点，且关于 y 轴对称，试确定 f(x)的解析式由
6、，得1m3.由，得 m1,1,3.当 m1 和 3 时，解析式为 f(x)x01(x0)；例题：已知幂函数 f(x)2 23mmx(mZ)的图象与 x 轴、y 轴正解：由题意，得m22m30，|m22m3|是偶数，mZ.当 m1时，解析式为f(x)x4.【失误与防范】一般说来，幂函数 f(x)(mZ)的图象与 x 轴、y 轴都无交点，应该马上想到指数小于零，其实函数f(x)x0 的图象为除掉点(0,1)的直线 y1(x0)，该图象与 x 轴、y 轴也都无交点，且关于 y 轴对称，完全符合上题，但容易忽略而出错2 23mmx1幂函数 yx的性质是分0 和0 两种情况来讨论的2要注意幂函数与指数函
7、数的区别，从它们的解析式上有如下区别：幂函数底数是自变量，指数是常数；指数函数指数是自变量，底数是常数3比较两个幂的大小，如果同指数而不同底数，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果同底数而不同指数，此时利用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0、1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂4幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象