1、4.2.3直线与圆的方程的应用A组1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对解析:由题意1,所以点P(a,b)在圆外.答案:B2.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为()A.30B.45C.60D.90解析:圆心到直线的距离为d=,圆的半径为2,劣弧所对的圆心角为60.答案:C3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0解析:圆x2+y2=4的圆心是O(0,0
2、),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是,所以直线l的方程是y+=x-,即x-y-3=0.答案:D4.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40解析:圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|=104=20.答案:B5.若P(x,y
3、)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动,则的最大值等于()A.-3+2B.-3+C.-3-2D.3-2解析:设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取最值.所以,解得k=-32.故的最大值为-3+2.答案:A6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.解析:由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于1,即1,|c|13,-13c13.答案:(-13,13)7.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是.解析:圆C的圆心坐标为(2,3),半径r=1.点A(
4、-1,1)关于x轴的对称点A的坐标为(-1,-1),因A在反射线上,所以最短距离为|AC|-r,即-1=4.答案:48.若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),且|m|3.又易知OAO1A,m2=()2+(2)2=25,m=5,|AB|=2=4.答案:49.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求:(1)的最大值;(2)y-x的最小值.解:将实数x,y看作点P(x,y)的坐标,满足x2+y2-4x+1=0的点P(x,y)组成的图形是以M(2,0)为
5、圆心,为半径的圆,如图.(1)设=k,即是圆上的点P与原点O连线的斜率.由图知,直线y=kx和圆M在第一象限相切时,k取最大值.此时有OPPM,|PM|=,|OM|=2,POM=60.此时k=tan60=,的最大值为.(2)设y-x=b,则y=x+b,b是直线y=x+b在y轴上的截距.由图知,当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时,b取最小值,此时有(b0),解得b=-2,y-x的最小值是-2.10.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么
6、不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解:以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2aa,整理得+y20),因为圆心在AB中垂线上,且中垂线方程是x-y+=0,所以所以由实际意义知应舍去,所以圆的方程为x2+(y-)2=2,与x轴的切点即原点,所以观景点应设在B景点在小路的射影处.2.在RtABO中,BOA=90,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点
7、A,B,O的距离的平方和的最大值和最小值.解:如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r=2.圆心坐标为(2,2).内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3(x-2)2+(y-2)2-4x+76.点P(x,y)在圆上,(x-2)2+(y-2)2=4.d=34-4x+76=88-4x.点P(x,y)是圆C上的任意点,x0,4.当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.