1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第三章圆锥曲线的方程31椭圆3.1.1椭圆及其标准方程必备知识自主学习导思1.椭圆是如何定义的？2椭圆的标准方程有哪些？1.椭圆的定义(1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|定义中的常数不满足2a|F1F2|时点的轨迹是什么？提示：(1)当|PF1|PF2|2a0)焦点在y轴上(ab0)F1(0，c)，
2、F2(0，c)2c(c0)(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”(2)在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？提示：不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()(2)已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆()(3)平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的
3、距离之和的点的轨迹是椭圆()(4)平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆()提示：(1).因为2a|F1F2|8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆(2).2ab0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为()A1 B1C1 D1【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为，由椭圆的定义得2a2，所以a，b2.因此椭圆C的标准方程为1.关键能力合作学习类型一求椭圆的标准方程(数学运算)1(2020瓦房店高二检测)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A1 B1C1 D12(2
4、020南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x，y)到两定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是()A1 B1C1 D13(2020武汉高二检测)已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：1(ab0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为()A1 B1C1 D1【解析】1.选A.因为F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c1，又根据椭圆的定义，MF2N的周长4a8，得a2，进而得b，所以椭圆方程为1.2选A.由于动点P(x，y)到两定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离之和为10|F1F2|，故P点的轨迹为椭圆，所以2a10，a5，c4，所以b2
5、a2c29，所以P点的轨迹方程为1.3选B.由题意可得圆的方程为(x1)2y24，令x0，可得y，令y0，可得x1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a3，b，所以椭圆的标准方程为1.待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能(2)设方程依据上述判断设方程为1(ab0)或1(ab0)；在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m0，n0且mn).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求【补偿训练】 经过两点A(0，2)，B的
6、椭圆的标准方程为_【解析】由题意，设椭圆的方程为1，则解得所以椭圆的标准方程为x21.答案：x21类型二椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)角度1用定义法求椭圆的标准方程【典例】已知定点A(0，2)，点B在圆C：x2y24y320上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为_【思路导引】先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，利用椭圆的定义，作出判断【解析】如图，由题意，得|PA|PB|，所以|PA|PC|PB|PC|r6|AC|4，所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c2，a3，所以b，所以椭圆方程为1.答案：1角度2利用椭圆的定义解决焦点
7、三角形问题【典例】已知椭圆C：1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F260，则PF1F2的面积是()A5 B C5 D【思路导引】|PF1|PF2|6，|F1F2|4.用余弦定理可解出|PF1|，再套用面积公式【解析】选D.由题意可得a3，c2.设|PF1|m，|PF2|n，则mn6，由余弦定理得，cos PF1F2，即m2n24m160，由解得m，n，故PF1F2的面积是m|F1F2|sin 604.1椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题2椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆
8、的两焦点F1，F2构成的F1PF2，如已知F1PF2，可利用S|PF1|PF2|sin F1PF2把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量1(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1【解析】选B.如图，由已知可设n，则2n，3n，由椭圆的定义有2a4n，所以2a2n.在AF1B中，由余弦定理推论得c
9、os F1AB.在AF1F2中，由余弦定理得4n24n222n2n4，解得n.所以2a4n2，所以a，所以b2a2c2312，所以所求椭圆C的方程为1.2已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|()A6 B7 C5 D8【解析】选D.椭圆1对应的a5，由题意可得，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，则三角形ABF2的周长为4a20，若|F2A|F2B|12，则|AB|20128.3椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_【解析】由1，知a3，b，所以c，所以|PF2|2a|PF1|2，所以c
10、os F1PF2，所以F1PF2120.答案：120类型三与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)【典例】1.已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为_2一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程【思路导引】1.点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解2由圆的相切及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹【解析】1.设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1.所以1，即x21.答案：x212由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(3，0)，R11；Q2(3，0)，R29.
11、设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程备选类型求轨迹方程(数学运算)【典例】1.已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)
12、，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是()A1(x0) B. 1(x0)C1(x0) D1(x0)2设定点A(6，2)，P是椭圆1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程【思路导引】1.根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点2利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用代入法求得轨迹方程【解析】1.选B.因为ABC的周长为20，顶点B(0，4)，C(0，4)，所以|BC|8，|AB|AC|20812，因为128，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆因为a6，c4，所以b220，
13、所以椭圆的方程是1(x0).2设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，所以因为1，所以点M的轨迹方程为.代入(相关点)法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0).因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，则x0x，y0.又点M在圆C上，所以xy4，即
14、x24.所以动点Q的轨迹方程是1.课堂检测素养达标1方程10化简的结果是()A1 B1C1 D1【解析】选B.方程10表示动点M(x，y)到两个定点(2，0)的距离之和为定值10，且1022，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a10，c2，所以b2a2c2522221.所以椭圆的方程为：1.2已知椭圆的焦点为(1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A1 By21C1 Dx21【解析】选A.c1，a2，所以b2a2c23，所以椭圆的方程为1.3(2020聊城高二检测)椭圆1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对
15、称点为N，则MF1N的周长为()A8 B10 C16 D22【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为F1MN的中位线，所以|MF1|MN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22a12，|F1N|2|F1F2|4c44，所以MF1N的周长为12416.4(2020定远高二检测)设定点F1、F2，动点P满足|PF1|PF2|a，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段【解析】选D.当a0时，由均值不等式的结论有：a26，当且仅当a3时等号成立当a6时，点P的轨迹表示线段F1F2，当a6|F1F2|时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆5设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积_【解析】由椭圆方程，得a3，b2，c.因为|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2是直角三角形，故F1PF2的面积为|PF1|PF2|424.答案：4关闭Word文档返回原板块