1、第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟 1.(2020全国卷)设函数f(x)cos在，的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A. B.C. D.解析由图象知T2，即2，所以1|2.因为图象过点，所以cos0，所以2k，kZ，所以，kZ.因为1|2，故k0，得.故f(x)的最小正周期为T.故选C.答案C2.(2020天津
2、卷)已知函数f(x)sin.给出下列结论：f(x)的最小正周期为2；f是f(x)的最大值；把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A. B.C. D.解析T2，故正确.当x2k(kZ)，即x2k(kZ)时，f(x)取得最大值，故错误.ysin x的图象 ysin的图象，故正确.故选B.答案B3.(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()A.f(x)|cos 2x| B.f(x)|sin 2x|C.f(x)cos|x| D.f(x)sin|x|解析易知A，B项中函数的最小正周期为；C中f(x)cos|x|co
3、s x的周期为2，D中f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，排除C，D.又当x时，2x，则y|cos 2x|cos 2x是增函数，y|sin 2x|sin 2x是减函数，因此A项正确，B项错误.答案A4.(2020江苏卷)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.解析将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y3sin3sin.令2xk，kZ，得对称轴的方程为x，kZ，分析知当k1时，对称轴为直线x，与y轴最近.答案x5.(2020北京卷)若函数f(x
4、)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为_.解析法一由f(x)sin(x)cos xsin xcos cos xsin cos xcos sin x(1sin )cos xsin(x).sin(x)1，2时，f(x)的最大值为2，2sin 2，sin 1，2k，kZ，的一个取值可为.法二f(x)sin(x)cos x的最大值为2，又sin(x)1，cos x1，则sin(x)cos x1时，f(x)取得最大值2.由诱导公式，得2k，kZ.的一个取值可为.答案(答案不唯一，只要等于2k，kZ即可)6.(2019全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_.解析f(x)sin
5、3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x12，因为cos x1，1，所以当cos x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min4.答案4考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象递增区间2k，2k递减区间2k，2k奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)对称轴xkxk周期性222.三角函数的常用结论(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(3)yA
6、tan(x)，当k(kZ)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0).ysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0).热点一三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tan cos 0.因为cos 22cos21，所以cos ，sin ，得|tan |.由题意知|tan |，所以|ab|.答案(1)C(2)B探究提高1.任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关.若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位
7、置，角的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【训练1】 (1)(2020唐山模拟)若cos 2sin 1，则tan ()A. B.C.0或 D.0或(2)(2020济南模拟)已知cossin ，则sin_.解析(1)由题意可得解得或所以tan 0，或tan .故选C.(2)cossin cos sin sin cos sin sin，sin，sinsinsin.答案(1)C(2)热点二三角函数的图象及图象变换【例2】 (1)(多选题)(2020新高考山东、海
8、南卷)如图是函数ysin(x)的部分图象，则sin(x)()A.sinB.sinC.cosD.cos(2)(2019天津卷)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A.2 B. C. D.2解析(1)由图象知，得T，所以2.又图象过点，由“五点法”，结合图象可得，即，所以sin(x)sin，故A错误；由sinsinsin知B正确；由sinsincos知C正确；由sincoscoscos知D错误.综上可知，正确的选项为BC.(2)由f(x)是奇
9、函数可得k(kZ)，又|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【训练2】 (1)(多选题)(2020济南历城区模拟)将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)9，且x1，x22，2，则2x1x2的可能取值为()A. B. C. D.(2)(2020长沙质检)函数g(x)Asin(x)(A0，0，02)的部分图象如图所示，已知g(0)g，函数yf(x)的
10、图象可由yg(x)图象向右平移个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为()A.f(x)2sin 2x B.f(x)2sinC.f(x)2sin 2x D.f(x)2sin解析(1)将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)2sin1的图象.由g(x1)g(x2)9，知g(x1)3，g(x2)3，所以2x2k，kZ，即xk，kZ.由x1，x22，2，得x1，x2的取值集合为.当x1，x2时，2x1x2；当x1，x2时，2x1x2.故选AD.(2)由函数g(x)的图象及g(0)g，知直线x为函数g(x)的图象的一条对称轴，所以，则T，所以2，所以g(
11、x)Asin(2x)，由题图可知为“五点法”作图中的第三点，则2，解得，由g(0)，得Asin ，又A0，所以A2，则g(x)2sin，所以g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为f(x)2sin2sin 2x，故选A.答案(1)AD(2)A热点三三角函数的性质【例3】 (1)若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.(2)(2020天一大联考)已知f(x)cos(0)，ff，且f(x)在区间内有最小值，无最大值，则()A. B. C.8 D.4(3)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内
12、单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_.解析(1)f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a.所以00，0)的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间).【训练3】 (1)(多选题)(2020济南质检)已知函数f(x)2sin(2x)(0)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()A.B.是f(x)的图象的一个对称中心C.f()2D.x是f(x)图象的一条对称轴(2)
13、(多选题)关于函数f(x)|cos x|cos|2x|，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.是f(x)的最小正周期C.f(x)在上单调递增D.当x时，f(x)的最大值为2解析(1)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y2sin2sin的图象，其关于y轴对称，k，kZ，k，kZ.又0，当k0时，故A正确；f(x)2sin，f0，则是f(x)的图象的一个对称中心，故B正确；因为f()f2，故C错误；f2，则x是f(x)图象的一条对称轴，故D正确.故选ABD.(2)f(x)|cos x|cos|2x|cos x|cos 2x|cos x|2cos2x12|cos x|2|cos
14、x|1，由f(x)2|cos(x)|2|cos(x)|1f(x)，且函数f(x)的定义域为R，得f(x)为偶函数，故A正确.由于y|cos x|的最小正周期为，可得f(x)的最小正周期为，故B正确.令t|cos x|，得函数f(x)可转化为g(t)2t2t1，t0，1，易知t|cos x|在上单调递增，在上单调递减，由t0，1，g(t)2，可得g(t)在0，1上单调递增，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故C错误.根据f(x)在上递增，在上递减，f(x)在x时取到最大值f()2，则D正确.答案(1)ABD(2)ABD热点四三角函数性质与图象的综合应用【例4】 (2020临沂一预)在f(x
15、)的图象关于直线x对称，f(x)cos xsin x，f(x)f(0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由.设函数f(x)2cos(x)，_.是否存在正整数，使得函数f(x)在上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下：令xk，kZ，代入x，解得k，kZ.因为0，所以，所以f(x)2cos.当x时，x.若函数f(x)在上单调，则有，解得0.所以存在正整数1，使得函数f(x)在上是单调的.若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下：f(x)cos xsin x2cos2cos(
16、x)，且0，所以.当x时，x.若函数f(x)在上单调，则有，解得0.所以存在正整数1，使得函数f(x)在上是单调的.若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下：因为f(x)f(0)恒成立，即f(x)maxf(0)2cos 2，所以cos 1.因为0，所以0，所以f(x)2cos x.当x时，x.若函数f(x)在上单调，则有，解得00)的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数g(x)的图象重合，则g(x)可以表示为()A.sin x B.sin xC.sin 2x D.sin 2x解析由图象知1，T2，得，由，得，f(x)sin，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得g(x)sinsin x的
17、图象，故g(x)可以表示为sin x.答案B3.函数f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.答案C4.(2020百师联盟检测)将函数f(x)2sin(3x)(0)图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线x对称，则函数f(x)在上的值域是()A.1，2 B.，2C. D.，2解析依题意，yf2sin的图象关于x对称.3k，k，kZ.又0，所以，故f(x)2sin.当x时，3x.2sin2，故f(x)在上的值域是，2.答案D5.(多选题)(2020海南新高考诊断)已知函数f(x)sin 2xsin，则()A
18、.f(x)的最小正周期为B.曲线yf(x)关于点对称C.f(x)的最大值为D.曲线yf(x)关于直线x对称解析f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin，则T，f(x)的最大值为，曲线yf(x)关于直线x对称，但曲线yf(x)不关于点对称.故选ACD.答案ACD二、填空题6.如图，以Ox为始边作角(0)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则_.解析由三角函数定义，得cos ，sin ，原式2cos22.答案7.设函数f(x)cos(0).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.解析由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)
19、，8k(kZ).又0，min.答案8.(2020长沙联考)已知函数f(x)sin(0)，若f(x)在上恰有两个零点，则的取值范围是_.解析0x，且0，x，又f(x)在区间上恰有两个零点，2且3.解之得4.答案三、解答题9.(2019浙江卷)设函数f(x)sin x，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y的值域.解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故2sin xcos 0，所以cos 0.又0，2)，因此或.(2)ysin2sin211
20、cos.由于xR，知cos1，1，因此，所求函数的值域为.10.(2020长沙联考)已知函数f(x)sin(0)的图象向左平移个单位后与函数g(x)cos(2x)图象重合.(1)求和的值；(2)若函数h(x)fg，求h(x)的单调递增区间及图象的对称轴方程.解(1)由题意得2，所以f(x)sin，则fsincos.|，.(2)h(x)fgsincossin，令2xk，kZ，解得x，kZ，h(x)图象的对称轴方程为x，kZ.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以h(x)的单调递增区间为，kZ.B级能力突破11.(2020潍坊模拟)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)是偶函
21、数，所以f(0)A或f(0)A，则sin 1.又00，所以A2，所以g(x)2cos.又x0，所以，所以当，即x0时，g(x)取得最大值g(0).答案112.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值.解(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以函数f(x)图象的对称轴为x(kZ)，当x(0，)时，对称轴为x或x.又方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2.x1x2(易证x1x2不合题意)，则x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).