1、第4讲 函数的单调性与最值 考纲要求考点分布考情风向标1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义3.会运用函数图象理解和研究函数的性质2011年新课标卷考查函数的奇偶性和单调性；2012年新课标卷考查函数奇偶性、最值；2013年新课标卷考查函数单调性、最值；2014年新课标卷以分段函数为背景，考查指数函数、幂函数的单调性本节复习时，首先回扣课本，应从“数”(定义和导数)与“形”(图象与奇偶性)两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法
2、要熟练掌握1函数的单调性f(x1)f(x2)f(x)x12，f(x1)f(x2)x21ax1x22ax2x1x2x1x2 x1x2(x1x2)a，由 x2x12，得 x1x2(x1x2)16，x1x20.要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，则 a16.【规律方法】(1)利用增、减函数的定义证明或判断函数的单调性，其步骤是：设出指定区间上的任意两个值作差变形判符号定结论.(2)本题还可以利用导数求解：f(x)2x2ax，要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需当 x2 时，f(x)0 恒成立，即 2x2ax 0，则 a2x316，)恒成立，故当 a16时
3、，f(x)在区间2，)上是增函数.【互动探究】2xx1在区间(0,1)1试用函数单调性的定义判断函数 f(x)上的单调性解：任取 x1，x2(0,1)，且x1x2，则 f(x1)f(x2)2x1x11 2x2x212(x2x1)(x11)(x21).由于 0 x1x21，x110，x210，故 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 f(x)2xx1在区间(0,1)上单调递减考点 2 利用导数判断函数的单调性例 2：(1)若 f(x)x36ax 的单调递减区间是(2,2)，则 a)的取值范围是(A(，0C2B2,2D2，)答案：C解析：f(x)3x26a，若 a0，则 f(x
4、)0.f(x)单调递增，排除 A，B；若 a0，则由 f(x)0.得 x 2a.当 x 2a时，f(x)0，f(x)单调递增；当 2ax0，则由 f(x)0.得 x 2a.当 x 2a时，f(x)0，f(x)单调递增；当 2ax 2a时，f(x)单调递减，f(x)的单调减区间为(2a，2a)则区间(2,2)是区间(2a，2a)的子集，故 2a2，2a2.解得a2.故选 D.【规律方法】(1)在研究函数的单调性时，应先确定函数的 定义域函数的单调性是对某一个区间而言的若 f(x)在区间A与 B 上都是单调递增(或递减)函数，则在 AB 上不一定单调 (2)注意 f(x)在区间 A 上单调递减与
5、f(x)的单调递减区间为A的区别本题中 f(x)的单调递减区间(2,2)是指方程 f(x)3x26a0 的两根为2；第(2)小题 f(x)在(2,2)上单调递减是 指 f(x)3x26a0 在(2,2)上恒成立【互动探究】)函数，则 a 的取值范围是(A1,0C0,3B1，)D3，)2(2013 年大纲)若函数 f(x)x2ax1x在12，上是增D解析：f(x)2xa1x20，a2x1x2在12，上恒成立，a2x1x2 max.而2x 1x2在12，上单调递减，2x1x2 max143，即 a3.故选 D.考点 3 函数的最值与值域 例 3：求下列函数的值域：(1)y3x2x2；(2)yx22
6、x3(5x2)；(3)y x2xx2x1；(4)yx4x；(5)y3cosx2cosx；(6)y1sinx2cosx.3x2 (3x6)83解：(1)方法一，yx2 x28x2，8x20，y3.函数 y3x2x2 的值域是y|yR，且 y3方法二，由 y3x2x22(y1)，得x y3.y3.(2)yx22x3(x1)24，x5，2，其图象开口向下，顶点为(1,4)当 x5 时，ymin12；当 x2 时，ymax3.yx22x3(5x2)的值域是12,3(3)方法一，y x2xx2x111x2x1.x2x1x1223434，1311x2x11，即13y0，解得 x2；令y0.解得2x0或0
7、x2.当x2时，f(x)单调递增；当2x0或0 x2时，f(x)单调递减；故当x2时，f(x)极大值f(2)4；当x2时，f(x)极小值f(2)4.所求函数的值域为(，44，)(5)方法一，函数的定义域为 R，y112cosx，1cosx1，当 cosx1 时，2cosx 有最大值 3.此时 ymin11343；当 cosx1 时，2cosx 有最小值 1，此时 ymax2.函数的值域为43，2.方法二，由 y3cosx2cosx解出 cosx 得 cosx2y3y1.1cosx1，12y3y1 1.即2y3y1 1，也即|2y3|y1|(y1)两边同时平方，得(2y3)2(y1)2(y1)即
8、 3y210y80(y1)(y2)(3y4)0.43y2.函数的值域为43，2.(6)方程法：原函数可化为：sinxycosx12y，1y2sin(x)12y其中cos11y2，siny1y2.sin(x)12y1y21,1|12y|1y2.3y24y0.0y43.原函数的值域为0，43.【规律方法】常用的求值域的方法有：代入法：适用于定义域为有限集的函数；分离系数法：若函数 yf(x)解析式中含有|x|，x2，sinx，cosx 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有 界性解出 y 的范围；配方法：适用于二次函数类的函数；反函数法：适用于形如y axbcxd类的函数；xmx2nxp
9、判别式法：适用于形如y ax2bxc类的函数；换元法：主要处理一些根式类的函数；不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求 最值；最值法：通过求导数进而求出最值；求三角函数的值域主要有三条途径：将 sinx 或 cosx 用所 求变量 y 来表示，如sinxf(y)，再由|sinx|1 得到一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得 y 的取值范围3x2(3)y【互动探究】3求下列函数的值域：(1)y54x；(2)yx2x2；3x21x2 2.解：(1)y3x254x1412x854x143(4x5)2354x34234(54x).该函数的值域为yyR，且y34.(2)yx2x2x12
10、294.该函数的值域是，94.(3)由 y3x21x22 知，xR，且(3y)x22y1，当 y3 时，显然不成立由 y3，得 x22y13y.x20，2y13y 0.解得12y3.函数的值域为12，3.难点突破 利用函数的单调性求参数范围 例题：(1)已知函数 f(x)logk(1kx)在0,2上是关于 x 的增函数，则 k 的取值范围是_解析：函数 f(x)logk(1kx)，k0 且 k1，则1kx 单调 递减，又函数 f(x)logk(1kx)在0,2上是关于x 的增函数，则 f(t)logkt 单调递减，有 0k1.又 1kx0 在0,2上恒成立，即10012k0，k12，综合得 k
11、0，12.答案：0，12)则实数 a 的取值范围为(A(1，)C(4,8)B4,8)D(1,8)解析：函数 f(x)在(，1)和1，)上都为增函数，且f(x)在(，1)上的最高点不高于其在1，)上的最低点，答案：B(2)若 f(x)ax，x1，4a2 x2，x1是 R 上的单调递增函数，即a1，4a20，a4a22，解得 a4,8)1利用定义判断或证明函数的单调性函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的注意定义的如下两种等价形式：设任意 x1，x2a，b，那么(1)f(x1)
12、f(x2)x1x20f(x)在a，b上是增函数；f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数数的定义域；其次对单调区间的表述要准确如函数f(x)的2求函数的单调区间讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函单调减区间为(，0)和(0，)，而不能表述为(，0)(0，)1x有的函数既无最大值也无最小值，如y.3复合函数的单调性对于复合函数 yfg(x)，若 tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且 yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若 tg(x)与 yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则 yfg(x)为增函数；若 tg(x)与 yf(t)的单调性相反，则 yfg(x)为减函数简称：同增异减4最值问题并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如 yx2；有的函数只有最小值而无最大值，如 yx2；1x