1、章末综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)等于()A1B1Ce1 De解析：选C.f(x)2f(e)，所以f(e)e1.故选C.2使函数yxsin xcos x是增函数的区间可能是()A. B(，2)C. D(2，3)解析：选C.ysin xxcos xsin xxcos x，故当x时，y0，函数为增函数3若f(x)ax3bx2cxd为增函数，则一定有()Ab24ac0 Bb23ac0Cb24ac0 Db23
2、ac0解析：选B.f(x)3ax22bxc0恒成立，所以a0，b0，c0或即b23ac0.4已知函数y2x36x218x7，则下列结论正确的是()A在x1处取得极大值17，在x3处取得极小值47B在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47C在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47D以上答案都不对解析：选A.y6x212x18，令y0，得x11，x23，当x变化时，f(x)的符号、f(x)的单调性和极值的变化如下：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x1时，f(x)取得极大值，且f(1)17，当x3时，f(x)取得极小值，且f(3)47.5设底为等边三
3、角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2解析：选C.设底面边长为x，则表面积 Sx2V(x0)，S(x34V)，令S0，得唯一极值点.6若函数f(x)x33x29xa在区间2，1上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A5 B7C10 D19解析：选A.因为f(x)3x26x93(x1)(x3)，所以函数在2，1内是递减的，所以最大值为f(2)2a2.所以a0，最小值f(1)a55.7对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca0或a21 Da0或a21解析：选A.f(x)3x22ax7a，当4a2
4、84a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点8某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN)，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为()A14件 B16件C24件 D32件解析：选B.因为最大盈利T200x(1p)100xp25(xN)，所以T2525(xN)令T0，所以x16或x32(舍去)因为当x16时，T0；当x16时，T0，所以当x16时，T取得最大值，故日产量应定为16件9已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C
5、1或1 D3或1解析：选A.函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，即关于x的方程cx33x有两个实数解令yx33x，则y3(x21)，y0x1，当x(1，1)时，y0yx33x是递减的；当x(，1)，x(1，)时，y0yx33x是递增的，所以yx33x有极大值2，有极小值2，依题意，c2，即c2.10做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27且用料最省，则圆柱的底面半径为()A5 B6C3 D2解析：选C.设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，所以l.要使用料最省，只需使水桶的表面积最小，而S表R22RlR2，令S表2R0，解得R3，即当R3时，S表最小故选C.11已知二次函
6、数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则的最小值为()A3 BC D2解析：选D.f(x)2axb，f(0)b0.对任意实数x都有f(x)0，得a0，b24ac0，所以b24ac，所以c0，所以11112(当且仅当ac时，取“”)12设f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，有恒成立，则正数k的取值范围是()A(0，1) B(0，)C1，) D.解析：选C.由f(x)，当且仅当xe1时“”成立，即f(x)max，由g(x)，g(x)，当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，则g(x)ming(1)e，由恒成立，即，得，得k1.故选C.二、
7、填空题：本题共4小题，每小题5分13函数f(x)x33x26x2，x1，1的最大值为_，最小值为_解析：因为f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)210，所以函数f(x)在1，1上是增加的，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(1)12.答案：21214已知函数yf(x)在定义域上可导，其图像如图，记yf(x)的导函数yf(x)，则不等式xf(x)0的解集是_解析：当x0时f(x)0的解集是，当x0时f(x)0的解集是(0，1，当x0时，xf(x)0也成立，所以不等式xf(x)0的解集是0，1答案：0，115要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边
8、长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析：设底面两邻边分别为x cm，2x cm，高为y cm，则722x2y，所以y，所以表面积S2(2x2xy2xy)4x26xy4x2.所以S8x，令S0，得x3.所以长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.答案：6 cm3 cm4 cm16若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为_解析：f(x)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2，所以f(2)0，所以128mm20，所以m2或m6.当m2时，f(x)3x28x4.令f(x)0，得x12，x2，所以当x或x2时，f(x)0，当x2时，f(x
9、)0，所以f(2)是极小值，所以m2应舍去当m6时，f(x)3x224x36.令f(x)0，得x12，x26，所以当x2或x6时，f(x)0，当2x6时，f(x)0，所以f(2)是极大值，所以f(2)2(26)232.答案：32三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知函数f(x)x33x22，求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解：由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.
10、当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.18(本小题满分12分)已知函数f(x)x32ax2bxc，(1)当c0时，f(x)在点P(1，3)处的切线平行于直线yx2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(1，8)，B(3，24)处有极值，求f(x)的表达式解：(1)当c0时，f(x)x32ax2bx.所以f(x)3x24axb.依题意可得f(1)3，f(1)1，即解得(
11、2)由f(x)x32ax2bxc，所以f(x)3x24axb.令解得a，b9，由f(1)12abc8，可得c3，所以f(x)x33x29x3.检验知，合题意19(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值解：(1)由题意f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，因为a0，所以f(x)0，故f(x)在(0，)上是递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，所以f(x)minf(1)a，所以a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在
12、1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，所以f(x)minf(e)1a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，所以f(x)在(1，a)上为减函数；当axe时，f(x)0，所以f(x)在(a，e)上为增函数，所以f(x)minf(a)ln(a)1a.综上所述，a.20. (本小题满分12分)若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，OAB，ABr，点A处照度y与sin 成正比，与r2成反比，问电灯与点O的距离多大时，可使点A处有最大的照度？解：由条件与光学知识，照度y与sin 成正比，与r2成反比，设yC(C是与灯光强度有关的常数)要想
13、点A处有最大的照度，只需求y的极值即可在直角三角形中，得r，于是yCCsin cos2，(sin sin3)，ycos (13sin2)当y0时，即方程13sin20的解为sin 与sin (舍)，在内，函数yf()在sin 取极大值，也是最大值由sin ，得cos ，得tan (x为电灯与点O的距离)，所以x，即当电灯与O点距离为时，点A的照度y为最大21(本小题满分12分)已知矩形的两个顶点在x轴上，另两个顶点在抛物线y4x2的x轴上方的曲线上，求这些矩形中面积最大的矩形的边长解：如图，设矩形边长AD2x，则|AB|y4x2.则矩形面积为S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，所以S8
14、6x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0x时，S0；当2x时，S0，所以当x时，S取得最大值，此时，S最大值，y，即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大22(本小题满分12分)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p.(以上三式中p，q均为非零常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是0，5其中x0表示4月1日
15、，x1表示5月1日，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓展外销，请你预测该水果在哪几个月份内价格下跌解：(1)应选f(x)x(xq)2p.因为f(x)pqx是单调函数；f(x)px2qx1的图像不具备先升再降后升的特征；f(x)x(xq)2p中，f(x)3x24qxq2，令f(x)0，得xq或x，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间(2)由f(0)4，f(2)6，得解之得(其中q1舍去)所以f(x)x(x3)24，即f(x)x36x29x4.(3)由f(x)0，解得1x3，所以函数f(x)x36x29x4在区间(1，3)上是减少的，所以这种水果在5月、6月份价格下跌