1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性与奇偶性学 习 任 务核 心 素 养1了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期(重点)3掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点)1通过周期性的研究，培养逻辑推理素养2借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.明日复明日，明日何其多我生待明日，万事成蹉跎我们知道，时间具有周而复始的规律如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？知识点1函数的周期性(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使
2、得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期周期函数的周期是唯一的吗？提示不是如f(x)的最小正周期为T，则nT(nN*)都是f(x)的周期1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若sinsin，则是函数ysin x的一个周期()(2)所有的周期函数都有最小正周期()答案(1)(2)2.对xR，函数yf(x)满足f(x1)f(x)，则f(x)的最小正周期为_答案1知识点2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ys
3、in xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数3.函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数Af(x)sin 2x的定义域为R，f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，所以f(x)是奇函数 类型1三角函数的周期问题及简单应用【例1】(对接教材人教A版P201例题)求下列函数的周期：(1)ysin；(2)y|sin x|.你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数yAsin(x)的周期有无规律可循？解(1)法一：(定义法)ysinsinsin，所以周期为.法二：(公式法)ysin中2，T.(2)作图如下
4、：观察图象可知周期为.求三角函数周期的方法(1)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(2)定义法：即利用周期函数的定义求解(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期提醒：y|Asin(x)|(A0，0)的最小正周期T.1求下列函数的最小正周期：(1)ysin；(2)y.解(1)sinsinsin.自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin，xR的值才能重复出现，函数ysin，xR的周期是.(2)函数ycos的最小正周期为，而函数y的图象是将函数ycos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周
5、期为T. 类型2三角函数奇偶性的判断【例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)显然xR，f(x)cosx，f(x)coscosxf(x)，f(x)是偶函数(2)由得cos x，f(0)0，x2k，kZ，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)1sin x0，sin x1，xR且x2k，kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则2(多选)关
6、于x的函数f(x)sin(x)有以下说法，正确的是()A对任意的，f(x)都是非奇非偶函数B存在，使f(x)是奇函数C对任意的，f(x)都不是偶函数D不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数BD当时，f(x)sin(x)sin x，是奇函数当时，f(x)sincos x，是偶函数所以A、C错误，B正确无论为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确 类型3三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【例3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Aycos|2x|By|sin 2x|CysinDycos(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函
7、数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f 等于()AB CD(1)D(2)D(1)ycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T.(2)f f f f f f sin.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“”改为“”，其他条件不变，结果如何？解f f f f sin.与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使
8、yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)3(1)奇函数f(x)满足f f(x)，当x时f(x)cos x，则f 的值为_(2)函数yf(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(1)3，则f(2 020)_.(1)(2)3(1)由ff(x)可知T，f f f.又f(x)为奇函数，且当x时f(x)cos x，f f cos.(2)f(x)为周期是3的偶函数，f(2 020)f(36731)f(1)f(1)3.1函数ysin的最小正周期为()AB2C4D.CT4.2函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数Af(x)sin(x)sin x，f(x)s
9、in xf(x)f(x)，f(x)为奇函数3如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是() A B CDD观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象4已知aR，函数f(x)sin x|a|，xR为奇函数，则a等于_0因为f(x)sin x|a|，xR为奇函数，所以f(0)sin 0|a|0，所以a0.5若函数yf(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)3，则f(5)_.3由已知得f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以f(5)f(2)f(1)f(1)3.回顾本节知识，自我完成以下问题：1学习周期函数需要注意哪些问题？提示(1)并不是每一个函数都是周期函数
10、，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(nZ且n0)也是f(x)的周期(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质2你能写出计算f(x)Asin(x)与g(x)Acos(x)(其中A0，0)的最小正周期的公式吗？提示正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的最小正周期T2. 函数f(x)Asin(x)(A0，0)与g(x)Acos(x)(A0，0)的最小正周期都为T.3你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？提示因为sin(x)sin x，cos(x)cos x，所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形