1、第二节 万有引力定律的应用合作讨论第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时所必须具有的速度，也叫环绕速度.根据公式：v=，卫星离地面越高，卫星做匀速圆周运动的速度越小，即第一宇宙速度是卫星做匀速圆周运动的最大环绕速度.但是我们又知道第二宇宙速度为13.6 km/s，显然这个速度大于第一宇宙速度.这两点似乎有矛盾.请同学们根据所学过的知识展开讨论.我的思路：这两点看起来似有矛盾.但是同学们只要清楚地认识到环绕速度与发射速度的区别，便解决问题了.思维过程【例1】 火星是离地球最近的一颗行星伙伴，目前人类开始对火星进行探索，并取得了一定的进展.2004年2月11日美国宇航局公布，2月日
2、开始在火星表面行走的“机遇号”火星车当天发回新的火星岩层图像，图像显示：火星岩层并非像笔记本那样平行，如果从某一角度细看，岩层有时相互交错.这些不平行的线条可能因火山活动、风或水的作用形成的(如图32所示).这点令“科学家们激动不已”.2004年8月，“机遇号”火星车进一步确证火星上有水的迹象.火星是绕太阳公转的，而火星的周围又有卫星绕火星公转.如果要通过观测或通过“机遇号”火星车测量某些数据求得火星的质量，问需要测量哪些量？试推导用这些量表示的火星质量计算式.图32思路：这是一道开放式题目，比直接给出已知条件求解要求更高，要求学生灵活应用所学知识来解决.要测量火星的质量，可以有多种方法，比如
3、把火星当作中心天体，然后观测某一环绕天体绕中心天体运动的周期和轨道半径；或者利用火星车测量的有关数据如重力加速度g等皆可以解决问题.解析：方法一：把火星当作中心天体，然后观测某一环绕天体绕中心天体的周期T和轨道半径r.将环绕天体的运行轨道近似成圆形，设中心天体和环绕天体的质量分别为M和m，根据万有引力定律和圆周运动规律，万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力：GMm/r2=mr化简得到：M=42r3/GT2.方法二：利用火星车或其他探测装置，设法测量出质量为m的物体在火星表面的重力G,从而求出g= G/m.再查阅火星的半径R，根据万有引力定律，万有引力产生重力：GMm/R2= G=m g化简得
4、到：M= gR2/G.点评：本题依托万有引力定律，在较熟练掌握万有引力定律的基础上，通过多种思路解决问题，达到一题多解，融会贯通；同时也可以培养学生的发散式思维，提高他们的创新能力.新题解答【例2】 2003年10月15日9时，我国“神舟”五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空.飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全降落在内蒙古主着陆场.这次成功的发射实现了中华民族千年的飞天梦想，标志着中国成为世界上第三个能够独立开展载人航天活动的国家，为进一步的空间科学研究奠定了坚实的基础.基于此问题情境，请完成下列问题.(1)飞船在升空过程中，要靠多级火箭加速推
5、进.若飞船内悬挂一弹簧秤，弹簧秤下悬吊一0.5 kg的物体，在火箭上升到某一高度时发现弹簧秤示数为9 N，则此时火箭的加速度是多大？(g=10 m/s2)(2)若将飞船的运动理想化成圆周运动，则飞船离地面的高度大约是多少？(已知地球的质量为M=6.01024kg，地球的半径R=6.4103 km)(3)遨游太空的杨利伟在航天飞船里可以见到多少次日落日出？(4)在太空微重力状态下的太空舱内，下列测量仪器能否使用？请说明理由.A.液体温度计 B.天平C.弹簧秤D.液体密度计解析：(1)飞船在升空过程中不断加速，产生超重现象.以物体为研究对象，物体在随火箭加速过程中，受到重力G和弹簧秤对它的拉力T两
6、个力的作用，根据牛顿第二定律： F=ma有TG= ma 得到：a=(TG)/m=8 m/s2.(2)若将飞船的运动理想化成圆周运动，T=21 h 23 min=76980 s.设地球质量为M，飞船质量为m，则根据万有引力定律和圆周运动的规律，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力：GMm/r2=m2r=m(2/T)2r有：r=3.9107 m.所以飞船离地面的高度h=rR=3.26107 m(3)遨游太空的杨利伟随飞船绕地球运行14圈，所以他在航天飞船里可以见到14次日落日出.(4)在太空微重力状态下的太空舱内，仪器能否使用，要看仪器的工作原理：A.因为液体温度计是根据液体的热胀冷缩的性质制成的，
7、在太空舱内可以使用.B.天平是根据杠杆原理制成的，在太空舱内，物体几乎处于完全失重状态，即微重力状态，所以杠杆在太空舱内不能工作，因此天平不能使用.C.弹簧秤的工作原理是依据在弹簧的弹性限度内，弹力与弹簧长度的改变量成正比的规律制成的，在太空舱内，仍然可以使用它来测力，但是不能用它来测物体重量，正是因为这点，同学们有一个易犯的错误，误认为不能使用.D.液体密度计是根据物体在液体中的浮力等于物体本身的重力的原理制成的，同B的原因，故液体密度计不能使用.点评：本题从科学、技术、社会的问题情境立意，以牛顿运动定律、圆周运动规律、万有引力定律等方面的知识为依托，考查学生的综合能力.帮助学生灵活借助物理
8、模型，利用有关规律解决实际问题，培养学生灵活提取有关信息来解决问题的能力.规律总结1.解决天体运动的一般方法我们在应用万有引力定律解决有关天体(行星或卫星)运动的问题时，首先要明确哪个是中心天体，哪个是环绕天体，明确研究的对象.然后将研究对象的运动建立理想化模型，即将天体运动近似成圆周运动.最后扣住两条思路：一是万有引力提供环绕天体的向心力；二是万有引力产生环绕天体距离中心天体某高度处的重力.具体可以表示如下：(1)提供向心力：GMm/r2=maa= GM/r2GMm/r2=mv2/rv=GMm/r2=m2r=GMm/r2=m(2/T)2rT=2；(2)产生重力：GMm/r2=mg (g为某高
9、度处的重力加速度，或认为是环绕天体在该高度的轨道上做圆周运动的向心加速度).2.关于宇宙速度(1)关于第一宇宙速度，同学们首先要建立理想模型进行推导，即我们要清楚在推导时作了两个近似处理：一是将近地卫星环绕轨迹近似成圆形轨道；二是卫星的环绕半径近似成地球的半径R.即推导原理是：GMm/r2=mv2/rv=r=R时将有关数据代入，得：v1=7.9 km/s.3.了解三个宇宙速度第一宇宙速度：v1=7.9 km/s第二宇宙速度：v2=11.2 km/s第三宇宙速度：v3=16.7 km/s.4.关于地球同步卫星这个问题在教材的资料活页栏目中有较详细的介绍，同步卫星的主要特点归纳起来有五个方面，这些
10、特点归根究底是因为卫星公转的角速度和地球自转的角速度相同，从而使任何质量、任何国家发射的地球同步卫星在角速度、周期、线速度、向心加速度、轨道半径的五个量是唯一确定的.根据上面第1点中的有关公式可计算得：T=24 h，=7.3105 rad/s，v=3.08 km/s， r=4.23104 km，a=0.23 m/s2.教材习题研讨第二节练习1.已知T=365天=365243600s=3.16107sr=1.51011m地球绕太阳做匀速圆周运动其向心力是太阳对它的引力提供的.设：太阳质量M，地球质量m由G=mr（）2得M=kg=2.01030 kg.2.所谓地球同步卫星是和地球自转周期相同，T=
11、86400 s，从而使同步卫星高度h一定，由F引=F向得G=m（R+h）（）2解得h=3.6104 km如图321所示，一颗同步卫星能覆盖赤道的范围是，由图可知：cos=0.151（=81.3）所以弧所对应的圆心角2=162.6，因此要覆盖整个赤道至少需要的卫星数n=2.2取n=3个，实际应用时，是将三颗同步卫星对称地分布在赤道上方.图3213.在地面附近，重力等于万有引力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，（地球半径R、地面重力加速度g已知）由mg=m得v=km/s=7.90 km/s这就是所求的环绕速度.第三节练习1.当以第一宇宙速度发射人造卫星，它将围绕地球表面做匀速圆周运动，若它发射
12、的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，则它将围绕地球做椭圆运动.有时为了让卫星绕地球做圆周运动，而要在卫星发射后做椭圆运动的过程中二次点火，以达到预定的圆轨道.我们以如图322所示为例来简单介绍一下：设第一宇宙速度为v，则由第一宇宙速度的推导过程有G=m.在地球表面若卫星发射的速度v1v，则此时卫星受地球的万有引力G应小于卫星以v1绕地表做圆周运动所需的向心力m，故从此时开始卫星将做离心运动.在卫星离地心越来越远的同时，其速率也要不断减小，在其椭圆轨道的远地点处（离地心距离为R），速率为v2（v2v1），此时由于Gm，卫星从此时起做向心运动，同时速率增大，从而绕地球沿图示的椭圆轨道做周期性
13、运动.如果在卫星经过远地点处开动发动机使其速率突然增加到v3，且G=m，则卫星就可以速率v3、以R为半径绕地球做匀速圆周运动，同样的道理，在卫星回收时，选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速率突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星.图322通过以上讨论可知：卫星在某一圆轨道上做匀速圆周运动，其速率为一确定值，若卫星突然加速（或减速），则卫星会做离心（或向心）运动而离开原来的轨道.有人提过这样的问题；飞船看见前方不远处有一和它在同一轨道上同向做圆周运动的卫星，此时若仅使它速度增大，能否追上卫星？若飞船加速，则它会离开原来的轨道，所以不能追上，它只
14、有在较低的轨道上加速或在较高的轨道上减速，才有可能追上卫星.2.发射火箭的原理是利用反冲原理发射火箭时，尾管中喷射出的高速气体有动量，根据动量守恒定律，火箭就获得向上的动量，从而向上飞去.3.随着飞行速度的增加，空气阻力会变大，万有引力变小，火箭的质量变小，假设火箭的反冲力不变，则加速度会逐渐变小.习题三1.已知R火=3.43106 m，=3.95103 kg/m3则火星的体积V=R3火星的质量M=V=R3=3.14（3.43106）33.95103kg=6.671023kg由mg=G得g=m/s2=3.8 m/s2由mg=m得v=m/s=3.6103 m/s.2.已知T1=28天，设R1为月
15、球原来的轨道半径，则R2=R1+10%R1=1.1R1由开普勒三定律得T2=T1=281.15（天）=32.3天即，现在“阴历”中的第一天将变为32.3天.3.v地=7.9 km/s，m行=8M地r行=2R地由G=m得，环绕速度v=则=所以v行=2v地=27.9 km/s=15.8 km/s.4.设星球上的重力加速度为g则由t=得g=.由mg=m得v=5.周期T=h设飞船离地面高度为hG=m（h+R）（）2其中M=5.891024 kgR=6.37106 m解得h=3.5105 m.方法点拨太阳对地球的引力提供地球做圆周运动的向心力.要发射同步卫星，必须同时满足三个条件：（1）卫星运动周期和地
16、球自转周期相同T=24 h.（2）卫星的运行轨道在地球的赤道平面内.（3）卫星距地面的高度有确定值（约3.6107m）.在地面上的物体及地面附近的物体（包含近地卫星）在通常情况下都认为mg=G.利用离心运动和向心运动理解发射到预定轨道过程.利用牛顿第二定律解释.在星球表面认为重力近似等于万有引力.利用开普勒定律求解.万有引力充当卫星的向心力.利用竖直上抛规律求出重力加速度，由第一宇宙速度含义求解.万有引力充当飞船的向心力.教材优化全析计算天体的质量讨论与交流我计算的基本思路：根据月球运动情况求出月球的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得地球的质量.我的计算过程和结果：
17、假设m为地球质量，m是月球质量，那么月球做匀速圆周运动所需的向心力为F=mr2=mr（）2而月球运动的向心力是由万有引力提供的所以G=mr（）2由此可以解出m=代入数据得，地球质量m=5.891024 kg由此得出计算天体质量的方法是：（1）明确围绕中心天体（行星或恒星）运动的卫星（或行星）的运动状态.（2）确定其向心加速度的大小.（3）然后根据万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律列出动力学方程.（4）解方程可求中心天体的质量.理论的威力：预测未知天体1781年，英国天文学家威廉赫歇耳发现了天王星，其实这颗星体很早已在当时天文学家的观测、研究之中，只是过去认为它是一颗恒星.1821年，法国经度
18、局要编制木星、土星和天王星的星历表，编制者利用建立在万有引力定律基础上的大行星摄动理论来计算这3颗行星的位置和轨道时，发现木星与土星的理论计算与实际观测符合得很好，而天王星则很不理想.按1781年以前的观测资料计算的轨道与按1781年以后观测资料计算的轨道完全是两个不同的椭圆轨道.是1781年以前的观测资料不准确，还是存在一个大行星的摄动，使天王星改变了运动的轨道呢？时过不久，1830年以后天王星星历表上计算出来的位置又与观测实际误差达20，并且误差越来越大，到1845年，误差竟达到2之多.当时大多数天文学家并不怀疑观测资料的准确性，而认为存在一颗行星，它影响着天王星的运行轨道.但也有一些天文
19、学家，则怀疑大行星摄动理论的正确性，这一理论的基础是万有引力定律.然而，有两位年轻的天文学家则坚信万有引力定律是正确的，一位是英国的亚当斯，另一位是法国的勒威耶，他们认为天王星运动与利用万有引力定律计算的结果不相符合，一定是天王星外面还有一个大行星在影响着天王星的运动.要证明这个猜想的正确，就必须把未露面的行星找出来.1845年10月，英国剑桥大学学生亚当斯（18191892）首先从理论上得出了结果，随后法国天文学家勒威耶（18111877）也计算出来了.人们根据他们的预报果然观察到这颗新行星，命名为“海王星”.当1846年勒威耶和亚当斯发现海王星以后不久，从1850年开始，一些天文学家就分析
20、推算在海王星以外可能还有一颗未知的行星，经过长期的努力，终于在1930年3月14日，人们发现了太阳系的第9颗行星冥王星.理想与现实：人造卫星和宇宙速度一、牛顿预言利用万有引力定律和圆周运动知识，人们不仅能更深刻地认识和探索宇宙（主要是天体的运动），而且还能创造奇迹，宇宙飞船、航天飞机、人造地球卫星就是实例.牛顿在揭示了万有引力的规律之后，又描绘出人造卫星的原理：从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次离山脚远，如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星.二、人造卫星的绕行速度、角速度、周期与半
21、径r的关系1.v与r的关系.设人造卫星沿圆形轨道绕地球运动的环绕速度为v，地球和卫星的质量分别为M和m，卫星到地心的距离为r（注意：r不是地球半径）.卫星围绕地球做匀速圆周运动而不落下，必须满足的条件是地球对卫星的万有引力完全用来提供卫星运动所需要的向心力.即G=m所以v=上式中，G和M的乘积是常量，所以卫星在轨道上环绕地球运转的速率v跟轨道半径r的平方根成反比，即卫星环绕地球运转的轨道半径r越大，卫星运转的速率就越小，否则卫星将会离地球而去.因为万有引力跟r2成反比，随着r增大引力急剧减小，一旦提供的万有引力不能满足所需要的向心力（m），卫星将做离心运动脱离地球的束缚而去，当轨道半径r越小时
22、，卫星运转的速率就越大.2.与r的关系设人造地球卫星绕地球运转的角速度为，由G=m2r可得： =由上式可以看出，卫星的角速度跟轨道半径的次方成反比，即卫星环绕地球运转的轨道半径r越大，卫星运转的角速度就越小，反之轨道半径r越小，卫星运转的角速度就越大.设人造地球卫星绕地球运行的周期为T，由G=mr可得T=2.三、三个宇宙速度1.第一宇宙速度：（1）定义：要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度.（2）推导：近地卫星轨道半径为地球半径R，其速率（第一宇宙速度）为v，则由万有引力充当向心力有G=m式中G为万有引力常量，M为地球质量.若不知地球质量要估算其值，
23、可借助于地球表面的重力加速度g.当忽略重力与万有引力的区别后则有G=mg，取GM=gR2，代入上式后可得v=7.9 km/s.2.第二宇宙速度和第三宇宙速度当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形.当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把11.2 km/s称为第二宇宙速度，也称脱离速度；当物体的速度等于或大于16.7 km/s，物体便将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度.第二宇
24、宙速度和第三宇宙速度的值也可由万有引力定律和动力学的知识求解，但中学阶段不作要求.讨论与交流这种说法是错误的.卫星绕地球做匀速圆周运动的速度v和周期T由G=m得v=G=mr（）2得T=2所以卫星离地面越高，其飞行线速度越小，周期越大.飞向太空的桥梁火箭一、发射火箭的原理是利用反冲运动发射火箭时，尾管中喷射出的高速气体有动量，根据动量守恒定律，火箭就获得向上的动量，从而向上飞去.二、火箭的组成火箭主要由壳体和燃料两部分组成，壳体内能运载弹头、人造卫星、空中探测器等物件.燃料部分有氧化剂和燃料.三、多级火箭才能获得发射卫星所需速度1.火箭所获得的最大速度取决于两个条件：其一是喷气速度，其二是质量比
25、（即开始飞行的质量与燃料燃尽后的质量）.2.火箭是用液态氢为燃料，液态氧为氧化剂.3.一级火箭最终达不到发射卫星所需要的速度，发射卫星用多级火箭.4.多级火箭发射时，第一级火箭燃烧结束后，便自动脱落，接着第二、第三级依次工作，燃烧结束后自动脱落，这样可以不断地减小火箭壳体的质量，减轻负担，使火箭达到远远超过使用同样多的燃料的一级火箭所能达到的速度.目前多级火箭一般都是三级火箭.思维拓展应用万有引力定律可以计算天体的质量，其基本方法是：首先对围绕中心天体（行星或恒星）运动的卫星（或行星）的运动状态进行分析，通常卫星（或行星）围绕天体的运动可以近似看作匀速圆周运动.先用已知的运动学参量确定其向心加
26、速度的大小，实际上人们是靠测定卫星（或行星）的轨道半径和周期来获得它们的向心加速度，然后根据万有引力提供了卫星（或行星）绕中心天体做匀速圆周运动所需要的向心力，应用牛顿第二定律列出卫星（或行星）的动力学方程，就可以求出中心天体（行星或太阳）的质量.全析提示海王星和冥王星的发现进一步证明了万有引力定律的正确，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义，海王星和冥王星的发现是理论指导实践的光辉典型.这表明：一个科学的理论，不仅要能够说明已知的事实，而且要能预言当时还不知道的事实.思维拓展大胆猜想，是科学研究的重要一环，这也是一种创新精神.要点提炼在物理推导时，先设置情景并设出相关参量，然后应用
27、规律推证.全析提示虽然距地面越高的卫星运转速率越小，但是向距地面越高的轨道发射卫星越困难，因为向高轨道发射卫星，火箭要克服地球对它的引力做更多的功，所以发射卫星的速度越大，千万不要把卫星在轨道上运转的速度和发射速度混淆起来.要点提炼卫星绕地球运行的周期跟轨道半径的次方成正比，即卫星环绕地球运转的轨道半径r越大，卫星运转的周期T就越长，反之，轨道半径r越小，卫星运转的周期T就越小.思维拓展从讨论结果来看出v、和T均是轨道半径r的单值函数.其函数式是研究人造地球卫星问题的理论基础.全析提示若卫星的发射速度恰好为第一宇宙速度，则卫星会在靠近地球表面处绕地球以此速度做圆周运动，这样的卫星常称为近地卫星.对于近地卫星常忽略其轨道半径与地球半径的区别，认为其轨道半径等于地球的半径R，第一宇宙速度可看作是近地卫星的环绕速度，因此第一宇宙速度又称为环绕速度，并由此可推导出第一宇宙速度的表达式和数值.思维拓展1.当11.2 km/sv7.9 km/s时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上.2.当16.7 km/sv11.2 km/s时，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”.3.当v16.7 km/s时，卫星脱离太阳引力的束缚跑到太阳系以外的空间中去.全析提示动量守恒定律我们以后会学到，在这里也可用作用力和反作用力体会反冲运动.