1、第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系考纲索引空间直线、平面的位置关系.课标要求1. 了解可以作为推理依据的公理和定理.2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1. 平面的基本性质2. 空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线ab个相交直线ab=A个异面直线a,b是异面直线个(2)平行公理和等角定理平行公理平行于的两条直线平行.用符号表示:设a,b,c为三条直线,若ab,bc,则ac.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.(3)异面直线所成的角定义:已知两条异面直线a,b,经过空间中任一点O作
2、直线aa,bb,把a与b所成的叫做异面直线所成的角(或夹角).范围:.3. 空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交a=A个平行a个在平面内a个平行个相交=l个基础自测1. (教材改编)下列命题是真命题的是().A. 空间中不同三点确定一个平面B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面C. 一条直线和一个点能确定一个平面D. 梯形一定是平面图形指 点 迷 津两种方法异面直线的判定方法:(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.三个推论公理2的三个推论:推
3、论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.三个作用(1)公理1的作用:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.(3)公理3的作用:判定两平面相交;作两平面相交的交线;证明多点共线.2. 已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b().A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D. 不可能是相交直线3. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1
4、共面的棱的条数为().A. 3B. 4 C. 5D. 64. (教材改编)在下列命题中,所有正确命题的序号是.平面与平面相交,它们只有有限个公共点;经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合;四边形确定一个平面.5. (教材改编)给出三个命题:若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;若两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;若两条直线和第三条直线平行,这两条直线互相平行;若两条直线均与一个平面平行,则这两条直线互相平行.其中不正确命题的序号是.考点透析考向一平面的基本性质及应用
5、例1(2013台州模拟)以下四个命题:不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【审题视点】根据三个公理及推论,结合构造几何体的方法判断.变式训练1. (2013沈阳模拟)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是().考向二空间中两直线的位置关系【方法总结】空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法
6、;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.变式训练2. 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线?说理理由.(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.(第2题)考向三异面直线所成的角例3(2013宁波调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.【审题视点】(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.(2)可证
7、A1C1与EF垂直.变式训练3. (2014湖南)如图所示,已知二面角-MN-的大小为60,菱形ABCD在面内,A,B两点在棱MN上,BAD=60,E是AB的中点,DO平面,垂足为O.(1)求证:AB平面ODE;(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.(第3题)经典考题典例已知三棱锥A-BCD,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.【解题指南】取AC的中点,作AB的平行线与MN形成三角形求解.【解】如图,取AC的中点P,连接PM,PN.则PMAB,且PM=AB.又PNCD,且PN=CD,所以MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)
8、.则MPN=60或MPN=120,若MPN=60,因PMAB,所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).又因AB=CD,所以PM=PN.则PMN是等边三角形,所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30.故直线AB和MN所成的角为60或30.真题体验1. (2014辽宁)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是().A. 若m,n,则mnB. 若m,n,则mnC. 若m,mn,则nD. 若m,mn,则n2. (2014浙江)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则().A. 若
9、mn,n,则mB. 若m,则mC. 若m,n,n,则mD. 若mn,n,则m3. (2014广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是().A. l1l4B. l1l4C. l1与l4既不垂直也不平行D. l1与l4的位置关系不确定4. (2014全国大纲)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为().参考答案与解析 知识梳理1. 两点一条直线上的三点有且只有一2. (1)010(2)同一条直线相等或互补(3)锐角或直角3. 10无数0无数基础自测1. D2. C3. C4.5.考点透析【
10、例1】B解析:中显然是正确的;中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;构造长方形或正方体,如图,显然b,c异面故不正确;中空间四边形中四条线段不共面,故只有正确.【例2】解析:过点N作NPBB1于点P,连接MP,可证AA1平面MNP,所以AA1MN,正确.过M,N分别作MRA1B1,NSB1C1于点R,S,则当M不是AB1的中点,N不是BC1的中点时,直线A1C1与直线RS相交;当M,N分别是AB1,BC1的中点时,A1C1RS,所以A1C1与MN可以异面,也可以平行,故错误.由正确知,AA1平面MNP,而AA1平面A1B1C1D1,所以平面MNP平面A1B1C1D1,故对
11、.综上所述,其中正确命题的序号是.【例3】(1)如图(1)所示,连接AB1,B1C,由ABCD -A1B1C1D1是正方体,易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.因为AB1=AC=B1C,所以B1CA=60.即A1D与AC所成的角为60.(1)(2)(2)如图(2)所示,连接AC,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD.所以EFAC,所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.变式训练1. D解析:A,B,C中,都有PSQR,共面.2. (1)不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,
12、AC.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1.又A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1AC,得到MNAC.所以A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面.所以D1,B,C,C1.这与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.3. (1)如图,因为DO,AB,所以DOAB.连接BD,由题设知ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DEAB.而DODE=D,故AB平面ODE.(第3题)经典考题真题体验1. B解析:由题可知,若m,n,则m与n平行、相交或异面,所以A错误;若m,n,则mn,故B正确;若m,mn,则n或n,故C错误;若m,mn,则n或n或n与相交,故D错误.2. C解析:A,B,D中m与平面可能平行、相交或m在平面内;对于C,若m,n,则mn,而n,所以m.故选C.3. D解析:利用长方体模型,易得空间两条直线的垂直关系不具有传递性.