1、2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，4，B=3，4，则U（AB）= 2甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 3若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为 4执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为 5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 6在同一直
2、角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是 7在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是 8已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4时，则的值为 9若等比数列an的各项均为正数，且a3a1=2，则a5的最小值为 10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，ABC=90，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 11函数f（x）=ex（x2+2x+a）在区间a，a+1上单调递增，则实数a的最大值为 12在凸四边形ABCD中，BD=2，且，则四边形ABCD的面积为 13在平面直角
3、坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y2a）2=1（a为实数）若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得OQP=30，则a的取值范围为 14已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平ABD面；（2）若AE平面BCD，BDCD，求证：平面AEF平面ACD16（14分）已知向量为实数（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值17（14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台，看台，三角形
4、水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设BAC=（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价18（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，ABCD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值19（16分）已知常数p0，数列an满足an+1
5、=|pan|+2an+p，nN*（1）若a1=1，p=1，求a4的值；求数列an的前n项和Sn；（2）若数列an中存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列，求的取值范围20（16分）已知R，函数f（x）=exex（xlnxx+1）的导数为g（x）（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求的取值范围；（3）若x1时，f（x）0恒成立，求的最大值2017年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，4，B=3，4，则U（AB）=2【考点】1H
6、：交、并、补集的混合运算【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案【解答】解：集合A=1，4，B=3，4，AB=1，3，4，又全集U=1，2，3，4，U（AB）=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题2甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】列举基本事件，即可求出概率【解答】解：分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：（1，3
7、）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、共8种情况，其中编号之和大于6的有：1+6=7，2+5=7，2+6=8，共3种情况，取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为，故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键3若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi，得到=abi，根据系数相等求出a，b的值，从而求出|z|即可【解答】解：设z=a+bi，则=abi，由z+2=3+2i，得3abi=3+2i，a=1，b=2，|z|=，故答案为：【点
8、评】本题考查了复数求模问题，考查共轭复数，是一道基础题4执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为1【考点】EA：伪代码【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x0时和当x0时的x值即可【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x0时，y=2x+1=1，解得x=1，不合题意，舍去；当x0时，y=2x2=1，解得x=1，应取x=1；综上，x的值为1故答案为：1【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较
9、小）的那名运动员的得分的方差为【考点】BA：茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为=（7+7+9+14+18）=11，乙的平均数为=（8+9+10+13+15）=11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：s2=（811）2+（911）2+（1011）2+（1311）2+（1511）2=故答案为：【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题6在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是2【考点】H2：正弦函数的图象
10、【分析】令y=sin（x+）=，求出在x0，2）内的x值即可【解答】解：令y=sin（x+）=，解得x+=+2k，或x+=+2k，kZ；即x=+2k，或x=+2k，kZ；同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y=在x0，2）内的交点为（，）和（，），共2个故答案为：2【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题7在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，先由双曲线的方程分析可得m的取值范围，进而又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得m的值，结合m的范围可得m的值，用集合表示即可得答案【解
11、答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则有，解可得m0，则有c=，又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得：m=3或，又由m0，则m=；即所有满足条件的实数m构成的集合是；故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意焦距是2c8已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4时，则的值为【考点】3Q：函数的周期性【分析】由函数的奇偶性与周期性把f（）转化为求f（）的值求解【解答】解：函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，又当x2，4时，f（）=f（）=故答案为：【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题9若等比数列an的各项均为正数，
12、且a3a1=2，则a5的最小值为8【考点】88：等比数列的通项公式【分析】由已知把首项用公比q表示，再由等比数列的通项公式可得a5，然后利用配方法求得a5的最小值【解答】解：an0，且a3a1=2，则（q0），=令（t0），则，又，a58，+）a5的最小值为8故答案为：8【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用配方法求函数的最值，是中档题10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，ABC=90，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】将直三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1
13、，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥DABC1的体积： =，由此能求出结果【解答】解：将直三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，AB=1，BC=2，BB1=3，ABC=90，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥DABC1的体积：=故答案为：【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题11函数f（x
14、）=ex（x2+2x+a）在区间a，a+1上单调递增，则实数a的最大值为【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，问题转化为a+2x2在a，a+1恒成立，求出a的范围即可【解答】解：f（x）=ex（x2+2x+a），f（x）=ex（x2+a+2），若f（x）在a，a+1上单调递增，则x2+a+20在a，a+1恒成立，即a+2x2在a，a+1恒成立，a+10即a1时，y=x2在a，a+1递减，y=x2的最大值是y=a2，故a+2a2，解得：a2a20，解得：1a2，不合题意，舍；1a0时，y=x2在a，0）递减，在（0，a+1递增，故y=x2的最大值是a2或（a+1）2，a0
15、时，y=x2在a，a+1递增，y的最大值是（a+1）2，故a+2（a+1）2，解得：0a，则实数a的最大值为：，综上，a的最大值是，故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题12在凸四边形ABCD中，BD=2，且，则四边形ABCD的面积为3【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】用，表示出括号内的和向量，化简得出AC，从而可求得四边形的面积【解答】解：，ACBD，（）（）=（）（）=5，2=+5=9，AC=3四边形ABCD的面积S=3故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积运算，属于中档题13在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+
16、y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y2a）2=1（a为实数）若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得OQP=30，则a的取值范围为1a【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得OQP=30，可得|OM|2，进而得出答案【解答】解：由题意，圆M：（x+a+1）2+（y2a）2=1（a为实数），圆心为M（a1，2a）从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得OQP=30，|OM|2，（a+1）2+4a24，1a，故答
17、案为：1a【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题14已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为27，30【考点】R3：不等式的基本性质【分析】令x=，y=，z=3x+8y，将条件转化为关于x，y的不等式，并求出x，y的范围，作出平面区域，根据平面区域得出z取得最值时的位置，再计算z的最值【解答】解：，设x=，y=，则有，作出平面区域如图所示：令z=3x+8y，则y=+，由图象可知当直线y=+经过点A时，截距最大，即z最大；当直线y=+与曲线y=相切时，截距最小，即z最小解方程组得A（2，3），z的最大值为32+83=30，设直线y=+与曲线y
18、=的切点为（x0，y0），则（）|=，即=，解得x0=3，切点坐标为（3，），z的最小值为33+8=2727z30，故答案为：27，30【点评】本题考查了线性规划的应用，将三元不等式转化为二元不等式，转化为线性规划问题是解题的关键，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）（2017南京三模）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平ABD面；（2）若AE平面BCD，BDCD，求证：平面AEF平面ACD【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）利用线面
19、平行的性质可得BDEF，从而得出EF平面ABD；（2）由AE平面BCD可得AECD，由BDCD，BDEF可得EFCD，从而有CD平面AEF，故而平面AEF平面ACD【解答】证明：（1）BD平面AEF，BD平面BCD，平面BCD平面AEF=EF，BDEF，又BD平面ABD，EF平面ABD，EF平ABD面（2）AE平面BCD，CD平面BCD，AECD，由（1）可知BDEF，又BDCD，EFCD，又AEEF=E，AE平面AEF，EF平面AEF，CD平面AEF，又CD平面ACD，平面AEF平面ACD【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题16（14分）（2017南京三模）
20、已知向量为实数（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得cos=，sin=进而得到t的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tan，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）向量为实数，若，则（2cos2sin，sin2t）=（，0），可得cossin=，平方可得sin2+cos22cossin=，即为2cossin=1=，（cos0，sin0），由sin2+cos2=1，解得cos+sin=，即有cos=，sin=则
21、t=sin2=；（2）若t=1，且，即有4cossin+sin2=1，即有4cossin=1sin2=cos2，由为锐角，可得cos（0，1），即有tan=，则tan2=，=【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题17（14分）（2017南京三模）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平
22、方米，设BAC=（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HN：在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；（2）根据（1）得出造价关于的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价【解答】解：（1）看台的面积是看台的面积的3倍，（）2=3（）2，AB=AC，SABC=AC2sin=400，AC2=，AB2=，在ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcos=，BC=40（2）设表演台的造价为y
23、万元，则y=120，设f（）=（0），则f（）=，当0时，f（）0，当时，f（）0，f（）在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，当=时，f（）取得最小值f（）=1，y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元【点评】本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题18（16分）（2017南京三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，ABCD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）A（a，0），B（0
24、，b），线段AB的中点M利用与离心率的计算公式即可得出（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）直线BC的方程为：y=k2x+1，直线AD的方程为：y=k1（x2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用kCD=，即可得出【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M=（a，b），=+=b2，化为：a=2b椭圆的离心率e=（2）证明：由a=2，可得b=1，椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+）x2+8k2x=0，解得xC=，yC=即C（，）直线AD的方程为
25、：y=k1（x2），联立，化为： x216x+4=0，2xD=，解得xD=，yD=，可得D（，）kCD=，化为：116+2k12k2+88=0（4k1k2+4k14k2+1）=0，k1k2=【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16分）（2017南京三模）已知常数p0，数列an满足an+1=|pan|+2an+p，nN*（1）若a1=1，p=1，求a4的值；求数列an的前n项和Sn；（2）若数列an中存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列，求的取值范围【考点】8E：数列的求和；
26、8H：数列递推式【分析】（1）an+1=|pan|+2an+p，可得a2=|1a1|+2a1+1=22+1=1，同理可得a3=3，a4=9a2=1，an+1=|1an|+2an+1，当n2时，an1，当n2时，an+1=1+an+2an+1=3an，即从第二项起，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可得出Sn（2）an+1an=|pan|+an+ppan+an+p=2p0，可得an+1an，即an单调递增（i）当1时，有a1p，于是ana1p，可得an+1=|pan|+2an+p=anp+2an+p=3an，利用反证法即可得出不存在（ii）当时，有pa1p此时a
27、2=|Pa1|+2a1+p=pa1+2a1+p=a1+2pp于是当n2时，ana2p从而an+1=|pan|+2an+p=anp+2an+p=3anan=3n2a2=3n2（a1+2p）（n2）假设存在2as=ar+at，同（i）可知：r=1得出矛盾，因此不存在（iii）当1时，有a1ppa1+p0于是a2=|Pa1|+2a1+p=pa1+2a1+p=a1+2pa3=a1+4p即可得出结论【解答】解：（1）an+1=|pan|+2an+p，a2=|1a1|+2a1+1=22+1=1，a3=|1a2|+2a2+1=0+2+1=3，a4=|1a3|+2a3+1=2+6+1=9，a2=1，an+1=
28、|1an|+2an+1，当n2时，an1，当n2时，an+1=1+an+2an+1=3an，即从第二项起，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，数列an的前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+an=1+=，（n2），显然当n=1时，上式也成立，Sn=；（2）an+1an=|pan|+an+ppan+an+p=2p0，an+1an，即an单调递增（i）当1时，有a1p，于是ana1p，an+1=|pan|+2an+p=anp+2an+p=3an，若数列an中存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列，则有2as=ar+at，即23s1=3r1+3t1（*）st1，23
29、s1=3t13r1+3t1因此（*）不成立因此此时数列an中不存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列（ii）当时，有pa1p此时a2=|Pa1|+2a1+p=pa1+2a1+p=a1+2pp于是当n2时，ana2p从而an+1=|pan|+2an+p=anp+2an+p=3anan=3n2a2=3n2（a1+2p）（n2）若数列an中存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列，则有2as=ar+at，同（i）可知：r=1于是有23s2（a1+2p）=a1+3t2（a1+2p），2St1， =23s23t2=023s23t2是整数，1于是a1a12
30、p，即a1p与pa1p矛盾故此时数列an中不存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列（iii）当1时，有a1ppa1+p0于是a2=|Pa1|+2a1+p=pa1+2a1+p=a1+2pa3=|pa2|+2a2+p=|a1+p|+2a1+5p=a1p+2a1+5p=a1+4p此时数列an中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列综上可得：1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系、分类讨论方法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16分）（2017南京三模）已知R，函数f（x）=exex（xlnxx+1）的导数为g（x
31、）（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求的取值范围；（3）若x1时，f（x）0恒成立，求的最大值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出f（x）=exelnx，f（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0（2）g（x）=f（x）=exelnx（x0），g（x）=，函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，=xex，（x0），可得的取值范围（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f（1）=g（1）=0，结合（2）分e，e，讨论x1时，是否f（x）0恒成立，即可【解答】解：（1
32、）f（x）=exex（xlnxx+1）的定义域为（0，+）f（x）=exelnx，f（1）=0，又f（1）=0曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0（2）g（x）=f（x）=exelnx，（x0），g（x）=函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，=xex，（x0），令G（x）=xex，G（x）=x（ex+1）0在（0，+）恒成立x（0，+）时，G（x）0，函数g（x）存在极值，的取值范围为（0，+）（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f（1）=g（1）=0结合（2）x1时，g（x）=0，可得xex，（x1），G（x）=xex，在（1，+）恒成立e时，g（x）0，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=0故f（x）在1，+）递增，f（x）f（1）=0当e时，存在x01，使g（x）=0，x（1，x0）时，g（x）0，即x（1，x0）时，g（x）递减，而g（1）=0，x（1，x0）时，g（x）0，此时f（x）递减，而f（1）=0，在（1，x0），f（x）0，故当e时，f（x）0不恒成立；综上x1时，f（x）0恒成立，的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数求极值、证明函数恒等式，属于难题