1、2等 差 数 列2.1等 差 数 列第1课时等 差 数 列学习目标1.理解等差数列的概念(数学抽象)2.掌握等差数列的判断方法(逻辑推理)3.会求等差数列的通项公式,会用通项公式解决问题(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.数列an的各项为:n,2n,3n,4n,数列an是等差数列吗?2.若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗?1.等差数列的定义(1)定义:从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数的数列.(2)公差:这个常数叫作公差,通常用字母d表示.如何用符号语言表示等差数列的定义?提示:an-an-1=常数d(n2),或an+1-an=常数d(nN+).
2、2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.要求等差数列的通项公式,需要求哪些基本量?提示:首项a1,公差d.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)从第2项起,后一项减前一项所得的差是常数的数列就是等差数列.()(2)任意相邻两项的差都可以看作公差.()(3)等差数列的通项公式只能由首项a1和公差d表示.()(4)等差数列的通项公式一定是n的一次式.()提示:(1).所得的差是同一个常数的数列才是等差数列.(2).公差d一定是由后项减前项所得,若前项减后项则为-d.(3).an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.(4)
3、.常数列的通项公式不能看作一次式.2.下列命题:数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);数列2n+1是等差数列.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.正确,中公差为-2.3.等差数列an中,首项a1=3,公差d=4,如果an=2 019,则序号n等于()A.502B.503C.504D.505【解析】选D.由an=a1+(n-1)d得2 019=3+4(n-1).解得n=505.4.(教材二次开发:习题改编)已知等差数列an中,d=-,a7=8,则a1=.【解
4、析】由a7=a1+6d=8且d=-,解得a1=8-6d=8+2=10.答案:10关键能力合作学习类型一等差数列的判断与证明(逻辑推理)【典例】已知数列an中,a1=2,an+1=2-,数列bn中,bn=,其中nN+.(1)求证:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.【思路导引】(1)根据等差数列定义,即证bn+1-bn为常数,将bn用代入,结合条件可证.(2)写出bn的通项公式后,可得an的通项公式.【解析】(1)由题意得b1=1,bn+1=.bn+1-bn=-=1,所以数列bn是等差数列,首项为1,公差为1.(2)由(1)得bn=1+n-1=n.所以an-1=,所以an=+1.判定
5、等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(nN+)或an-an-1=d(n2,nN+)数列an是等差数列.(2)通项公式法:数列an的通项公式an=pn+q(p,q为常数)数列an为等差数列.提醒:若an+1-an为常数,则该常数为等差数列an的公差;若an+1-an=an-an-1(n2,nN+)成立,则无法确定等差数列an的公差.若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.已知数列an满足a1=2,an+1=,则数列是否为等差数列?说明理由.【解析】数列是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=,所以=+,
6、-=(常数).所以是首项为=,公差为的等差数列.类型二等差数列通项公式的应用(逻辑推理)角度1求项(数)【典例】已知等差数列an中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?【思路导引】利用等差数列的通项公式求解.【解析】设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,由已知得解得所以an=-23+(n-1)4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45N+,所以153是所给数列的第45项.(2020荆州高一检测)已知等差数列满足3a3=4a4,则该数列中一定为零的项为()A.a6B.a7C.a8D.a9【解题指南】由条件可得a3=
7、-4d,进而得an=(n-7)d,从而得解.【解析】选B.因为3a3=4a4,所以3a3=4=4a3+4d,所以a3=-4d,所以an=a3+(n-3)d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,所以a7=0.角度2求通项公式【典例】1.已知等差数列:3,7,11,15,求它的通项公式.2.已知在等差数列an中,a5=-20,a20=-35.试求出数列的通项公式.【思路导引】1.由已知可以确定数列的首项a1=3,公差d=4,代入公式即可.2.设出首项和公差,利用a5=-20,a20=-35可得方程组: 解方程组得出a1与d的值,代入公式即可.【解析】1.由已知可得等差数列的首项a1=3,公差d=4
8、,所以an=3+4(n-1)=4n-1,所以等差数列的通项公式为an=4n-1.2.设an的通项公式是an=a1+(n-1)d(nN+),由已知得:解这个方程组得a1=-16,d=-1.故数列an的通项公式为an=-16+(n-1)(-1)=-15-n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,
9、则可判断数列an是等差数列.1.(2020石河子高一检测)已知等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n项为()A.2n-5B.2n-3C.2n-1D.2n+1【解析】选B.已知等差数列an的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,故有2(a+1)=a-1+2a+3,解得a=0,故等差数列an的前三项依次为-1,1,3,故数列是以-1为首项,以2为公差的等差数列,故通项公式an=-1+(n-1)2=2n-3.2.已知数列an满足a1=15,且3an+1=3an-2.若akak+10,则正整数k=()A.24B.23C.22D.21【解析】选B.由3an+1=3an-2得an+
10、1-an=-,所以数列an为首项a1=15,公差d=-的等差数列,所以an=15-(n-1)=-n+,则由akak+10,ak+10,a240B.a7+a90C.a7+a9=0D.a7a9=0【解析】选C.因为(n,an)在直线3x-y-24=0上,所以an=3n-24,所以a7=37-24=-3,a9=39-24=3,所以a7+a9=0.6.在等差数列an中,a5=10,a12=31,求a20,an.【解析】由a5=10,a12=31,得7d=a12-a5=21,所以d=3,a1=a5-4d=10-43=-2.所以a20=a1+19d=-2+193=55,an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.
