1、02第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式1对于数轴上的任意三点A,B,O,下列关于有向线段的数量关系不恒成立的是()A.AB=OB-OAB.AO+OB+BA=0C.AB=AO+OBD.AB+AO+BO=0解析：AB+AO+BO=AB+BO+AO=AO+AO=2AO,AO不一定为0,故D项不恒成立.答案：D2在数轴上,E,F,P的坐标分别为-3,-1,13,则EP+PF=()A.2B.-2C.6D.-6解析：EP+PF=13-(-3)+(-1)-13=16-14=2.答案：A3点A(2a,1)与B(2,a)之间的距离为()A.5(a-1)B.5(1-a)C.5|a-1|D.5(
2、a-1)2解析：由两点的距离公式,可得A,B之间的距离为d(A,B)=(2-2a)2+(a-1)2=5(a-1)2=5|a-1|.答案：C4已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不可能是()A.(9,-4)B.(1,8)C.(-3,0)D.(1,-3)解析：设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)
3、为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故应选D.答案：D5已知ABC的三个顶点的坐标为A(3,2),B(0,1),C(0,3),则此三角形的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析：判断三角形的形状,首先要知道三角形都有哪些形状.按边分:等边三角形,等腰三角形;按角分:锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.所以在判断三角形的形状时,既要考虑到边的情况,也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点的距离公式计算三角形的三条边长.因为|AB|=(3-0)2+(2-1)2=2,|AC|=(3-0)2+(2-3)2=2,|BC|=(0-0)2+(1-3)2
4、=2,故ABC为等边三角形.答案：D6已知点A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为()A.6B.41C.17D.52解析：如图,作点A(1,3)关于x轴的对称点A(1,-3),连接AB交x轴于点P.可知|AB|即为|AP|+|PB|的最小值,而|AB|=(5-1)2+(2+3)2=41.故|AP|+|PB|的最小值为41.答案：B7在直线坐标系中有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB=.向量AB与以B点为起点,终点坐标为的向量是相等向量.解析：由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,且向量AB的坐标为-3,若以B点为起点
5、,向量为-3,则终点坐标应为-5.答案：-3-58已知点A(5,12),在x轴上求一点P,使点P与点A的距离等于13,则满足条件的点为.解析：设点P的坐标为(x,0),根据题意,得(5-x)2+(12-0)2=13,解得x1=0,x2=10.答案：(0,0)或(10,0)9已知ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为.解析：由于ABCD的各顶点的顺序已经确定,则点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质对角线互相平分,再根据中点坐标公式的逆向应用,即可求出点C的坐标.设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意
6、得点O的坐标为x2+x12,y2+y12,又因为点O为AC的中点,所以m+02=x2+x12,n+02=y2+y12,解得m=x2+x1,n=y2+y1,所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).答案：(x1+x2,y1+y2)10如图,等边三角形ABC的顶点A的坐标为(-3,0),点B,C在y轴上.(1)写出B,C两点的坐标;(2)求ABC的面积和周长.解(1)如题图,因为ABC为等边三角形,|AO|=3,所以|OC|=1,|OB|=1,即B,C两点的坐标分别为B(0,-1),C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,所以ABC的周长为6,面积为1223=3.11河流的一侧有A,B两个村
7、庄,如图,两村庄为了发展经济,计划在河上共建一小型水电站供两村使用.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.问:建水电站所需的最省的电线长是多少?解如图,以河边所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A,则A(0,-300),且d(A,B)=(400-0)2+(600+300)2=10097,由三角形三边的性质及对称性,知需要的最省的电线长即为线段AB的长,因此,所需的最省的电线长为10097 m.12如图,在ABC中,C=90,P为三角形内一点,且SPAB=SPBC=SPCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.证明如图,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).SPCA=SPCB=SPAB,SPCA=13SABC.即123ay=13123a3b,y=b.SPBC=13SABC,即123bx=13123a3b,x=a.适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,结论成立.