1、第3讲 函数的奇偶性与周期性 考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的性质2011年新课标卷考查函数的奇偶性和单调性；2012年新课标卷考查函数奇偶性、最值；2013年大纲卷考查函数周期性；2014年新课标卷考查函数奇偶性与周期性；2014年新课标卷考查抽象函数的奇偶性本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题1函数的奇偶性原点y 轴函数定义图象奇函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)关于_对称偶函数对于函数f(x)的定义域内任意
2、一个x，都有f(x)f(x)关于_对称2函数的周期性对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期DA奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数D2(2015 年广东江门一模)下列函数中，是奇函数的是()Af(x)2xCf(x)sinx1Bf(x)log2xDf(x)sinxtanx1函数 y 1x x1是()CAy 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称3函数 f(x)1xx 的图象关于()则()BAf(x)与 g(x)均为偶函数Bf(x)为偶
3、函数，g(x)为奇函数Cf(x)与 g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数4若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，解析：f(x)3x3xf(x)f(x)为偶函数而g(x)3x3x(3x3x)g(x)g(x)为奇函数考点 1 判断函数的奇偶性例 1：(1)(2014 年新课标)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：依题意得对任意 xR，都有 f(x)f(x)，g(x)g(x)
4、因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A 错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B 错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C 正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D 错答案：C(2)(2015 年广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以 yxex 既不是奇函数也不 是偶函数，依题可知 B，C，D 依次是奇函数、偶函数、偶函数 故
5、选 A.答案：AAyxexByx1xCy2x12x Dy 1x2解析：记f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，则(3)(2015 年北京)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sinxCy|lnx|Byx2cosxDy2x解析：根据偶函数的定义 f(x)f(x)，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选 B.答案：B(4)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是()Ay2xCy2cosx1Byx3sinxDyx22x答案：A12x解析：对于 A 选项中的函数 f(x)2x12x2x2x，函数定义域为 R，f(x)2x2
6、(x)2x2xf(x)，则该函数为奇函数；对于 B 选项中的函数 g(x)x3sinx，g(x)x3sin(x)x3sinxg(x)，则该函数为偶函数；对于 C 选项中的函数 h(x)2cosx1，定义域为 R，h(x)2cos(x)12cosx1h(x)，则该函数为偶函数；对于 D 选项中的函数(x)x22x，(1)3，(1)32，则(1)(1)，则该函数为非奇非偶函数故选 A.(5)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 y x3，y 2x，yx21，y2sinx 中，奇函数的个数是()A4 个B3 个C2 个D1 个答案：C(6)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是()Aysi
7、nxCyexByx3Dy 答案：D2ln1x 解析：ysinx 是奇函数，yx3 是奇函数，yex 为非奇非偶函数对于 D 选项，由 f(x)ln x21，得 f(x)ln x21ln x21f(x)，故 yln x21是偶函数【规律方法】判断函数奇偶性的方法：定义法：第一步先看函数 fx的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶 函数的定义来判断，即若有 fxfx(或 fxfx0，f(x)f(x)1)，则 fx为奇函数；若有 fxfx(或 fxf(x)0，f(x)f(x)1)，则 fx为偶函数；图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常
8、用图象法；复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断.考点 2 根据函数的奇偶性求参数的值(范围)答案：1例 2：(1)(2015 年新课标)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.解析：由题意知，yln(x ax2)是奇函数，所以 ln(xax2)ln(x ax2)ln(ax2x2)lna0，解得 a1.(2)(2014 年湖南)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_.解析：由题意知，f(x)的定
9、义域为 R，所以 f(1)f(1)从 答案：32而有ln(e31)aln(e31)a.解得a.32x1xax(3)设函数 f(x)为奇函数，则 a_.解析：f(x)为奇函数，f(1)f(1)a1.答案：1【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法：先利用 fxfx0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.考点 3 函数奇偶性与周期性的综合应用例 3：(1)(2014 年安徽)若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x)x1x，0 x1，sinx，1x2，则 f294f416 _.解析：由题意，得 f(x4)f(x
10、)，f(x)f(x)，则 f294 f416 f4234 f4276f34 f76 f34 f7634134 sin76 31612 516.答案：516答案：A(2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，则 f52()A12 B14 C14D12解析：f(x)是周期为 2 的奇函数，利用周期性和奇偶性，得f52 f522 f12 f12 212112 12.【规律方法】第1小题主要考查函数的奇偶性、周期性及分段函数，蕴含转化与化归思想，其实质就是要将294f 416f 中的 294 与416 利用奇偶性、周期性转化成0，2上的对应值，然后分别代入解析式即
11、可.第2小题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.关键是通过周期性和奇偶性把自变量52转化到区间0，1上进行求值.【互动探究】(2014 年新课标)已知偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2对称，f(3)3，则 f(1)_.3解析：yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(1)f(3)3.又yf(x)为偶函数，f(1)f(1)3.易错、易混、易漏判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：2xylg2x；ylg(2x)lg(2x)；ylg(x2)(x2)；ylg(x2)lg(x2)其中奇函数是_，偶函数是_正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有 f(x)f(x)，所以都是奇
12、函数；的定义域为(，2)(2，)，且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；的定义域为(2，)，关于原点不对称，因此该函数为非奇非偶函数答案：【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致 错对定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，f(x)f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要条件1在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定
13、f(x)f(x)义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0 1f(x)0来判断或f(xa)3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也真利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性4分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性5函数 f(x)满足的关系 f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)满足的关系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆关于函数周期性常用的结论：对于函数 f(x)，若有 f(xa)f(x)或 f(xa)1f(x)(a 为常数，且 a0)，则 f(x)的一个周期为1f(x)2a.