1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 平面向量的概念及线性运算 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.向量的有关概念名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作_ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为
2、0 a|a|基础诊断考点突破课堂总结平行向量 方向_或_的非零向量 0与任一向量_或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度_且方向_的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度_且方向_的向量 0的相反向量为0 相同相反平行相等相同相等相反基础诊断考点突破课堂总结2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_ baa(bc)基础诊断考点突破课堂总结减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差 aba(b)数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|_；(2
3、)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a_(a)_；()a_；(ab)_|a|相同相反0aaaab基础诊断考点突破课堂总结3.共线向量定理 a是一个非零向量，若存在一个实数，使得_，则向量b与非零向量a共线 ba基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)零向量与任意向量平行.()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立.()(5)在ABC 中，D 是 BC 中点，则AD 12
4、(ACAB).()基础诊断考点突破课堂总结解析(2)若b0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是()A.B.C.D.解析 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量AB与BA互为相反向量，故错误.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结3.(2017西安模拟)设 D
5、为ABC 所在平面内一点，AD 13AB43AC，若BCDC(R)，则()A.2 B.3C.2D.3解析 由AD 13AB43AC，可得 3AD AB4AC，即 4AD 4ACAD AB，则 4CD BD，即BD 4DC，可得BD DC 3DC，故BC3DC，则 3，故选 D.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结4.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析 向量 a，b 不平行，a2b0，又向量 ab 与a2b 平行，则存在唯一的实数，使 ab(a2b)成立，即 aba2b，则得，12，解得 12.答案 12基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)已知ABCD
6、的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA a，OB b，则DC _，BC_(用 a，b 表示).解析 如图，DC ABOB OA ba，BCOC OB OA OB ab.答案 ba ab 基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量的概念【例 1】下列命题中，不正确的是_(填序号).若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab，bc，则 ac.基础诊断考点突破课堂总结解析 不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.ABDC，|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形
7、ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB|DC|，ABDC 且AB，DC 方向相同，因此ABDC.正确.ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.答案 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是与 a 同方向的单位向量.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】下列命题中
8、，正确的是_(填序号).有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案 基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面向量的线性运算【例 2】(1)(2017南昌模拟)在ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP13AB，BQ13BC.若ABa，ACb，则PQ()A
9、.13a13bB.13a13bC.13a13bD.13a13b(2)(2015北京卷)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)PQ PBBQ 23AB13BC23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b，故选 A.(2)由题中条件得，MN MC CN 13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC，所以 x12，y16.答案(1)A(2)12 16基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本
10、向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F是 BC 的一个靠近 B 点的三等分点，那么EF等于()A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12AB23AD基础诊断考点突破课堂总结(2)在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO ABBC，则 等于()A.1 B.12C.13D.23解析(1)在CEF 中，有EFECCF.因为点 E 为 DC 的中点，所以EC
11、12DC.因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点，所以CF23CB.所以EF12DC 23CB12AB23DA12AB23AD，故选 D.基础诊断考点突破课堂总结(2)AD ABBD AB13BC，2AO AB13BC，即AO 12AB16BC.故 121623.答案(1)D(2)D 基础诊断考点突破课堂总结考点三 共线向量定理及其应用【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线.(1)证明 ABab，BC2a8b，CD 3(ab).BD BC CD 2a
12、8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb，(k)a(k1)b.a，b 是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2017资阳模拟)已知向量ABa3b，BC5a3b，CD
13、3a3b，则()A.A，B，C 三点共线B.A，B，D 三点共线C.A，C，D 三点共线D.B，C，D 三点共线(2)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OA xOB BC0 成立的实数 x 的取值集合为()A.0 B.C.1 D.0，1基础诊断考点突破课堂总结解析(1)BD BCCD 2a6b2(a3b)2AB，BD、AB共线，又有公共点 B，A，B，D 三点共线.故选 B.(2)因为BCOC OB，所以 x2OA xOB OC OB 0，即OC x2OA(x1)OB，因为 A，B，C 三点共线，所以x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0
14、或 x1.答案(1)B(2)D 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.基础诊断考点突破课堂总结3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，OA，OB 不共线，满足OP xOA yOB(x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.