1、专题1：基本初等函数（两课时）班级 姓名 一、前测训练1已知函数f(x)，若f(x)2，则x的取值范围为 f(x)在区间1，3的值域为 答案：，)；2，4.2若f(x21)x2，则f(x) 已知ff(x)94x，且f(x)是一次函数，则f(x) 答案：x1(x1)；2x3或2x93若二次不等式f(x)0的解集为(1，2)，且函数yf(x)的图象过点(1，2)，则f(x) 已知f(x)x22x2，xt，t1，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t) 答案：x2x；4已知2()，则函数y()的值域为 设loga2，则实数a的取值范围为 已知函数ylog(x22x2)，则它的值域为 答案：，81；(
2、0，)(1，)；(，05函数f(x)lgxsinx零点的个数为 函数f(x)2xx4零点所在区间为(k，k1 )，kN，则k 答案：3；1.二、方法联想1分段函数(与分段函数有关的解不等式与值域问题)方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题变式:已知f(x)，则ff(1) 答案：0(考查分段函数求值问题)2求函数解析式问题方法1：换元法、拼凑法；方法2：待定系数法；方法3：函数方程法变式：已知f(x)2f(x)x22x，求f(x)（答案:f(x)x2x，考查利用函数方程法求函数解析式）3与二次函数有关问题
3、(1) 求二次函数解析式问题:方法:待定系数法:一般设为三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2) 二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法: 结合图象，分区间讨论步骤: 配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；结合图象，由函数的单调性，求出最值若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值4与指(对)数、指(对)数函数有关问题:（1）指(对)数方程与不等式问题：方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数
4、的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式变式：解不等式lg2xlgx230 (答案：0x或x1000，考查利用换元法解指(对)不等式)（2）与指(对)数函数有关的值域问题，方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性；方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求5函数零点的有关问题(1)求函数的零点 方法：解方程f(x)=0，方程的根即为对应函数的零点 变式1: 若一次函数f(x)=axb有一个零点为2，那么函数g(x)=bx2ax的零点是 (答案：0和，考查求函数的零点)(2)判断零点的个数问题 方法1：解
5、方程f(x)=0求出函数的零点，有几个解就有几个零点方法2: 零点的存在定理方法3：数形结合，函数零点与方程的根的关系进行转化，化为两个“恰当的函数”，根据函数图象的交点个数来判断函数零点个数注意 作函数图象的相对准确性和考虑特殊情况(3)确定函数f(x)的零点所在区间问题 方法1：零点的存在定理； 方法2：图象法 变式2：函数f(x)2xx4零点所在区间为(k，k1 )，kN，则k (答案：1，考查确定零点所在区间)(4)零点是否存在问题：方法1：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，求不等式确定参数的范围，即解出xx0且满足x0A（定义域）；方法2：分离参数转化为求值域；方法3：数形结合法
6、，先对解析式变形，在同一坐标系中，画出函数图象，再数形结合求解可能要用到一个结论：连续函数yf(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点反之不一定成立推广：二次函数yf(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上存在唯一一个零点 变式3：已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是 （答案：m0或m1，考查零点存在问题)三、例题分析例1.已知函数f(x)loga(82x)(a0，且a1).（1）当a2时，求满足不等式f(x)2的实数x的取值范围；（2）当a1时，求函数yf(x)f(x)的最大值.答案
7、：（1）实数x的取值范围为2，3).（2）函数yf(x)f(x)的最大值为loga49.教学建议（1）主要问题归类与方法：1解指(对)数不等式问题：方法：利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解 换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域2与指(对)数有关的函数值域：方法：考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理 用换元法，转化为几个基本函数的值域问题（2）方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择方法，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理
8、比较方便，所以选择方法指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“82x0”的定义域部分；二是第二问中函数yf(x)f(x)的定义域.例2.已知函数f(x)(aR)的定义域为R，求关于x的方程|a1|1的根的取值范围.答案：取值范围为，18.教学建议（1）主要问题归类与方法：1已知函数的定义域，求参数的范围：方法：与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围2分段函数的值域：方法：利用函数的图象，求值域 分别求每个区间的值域，再求并集（2）方法
9、选择与优化建议：对于问题2，学生一般会选择方法，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.例3. 已知函数f(x)a.（1）求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；（2）若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数yf(x)在m，n上的值域是m，n(mn)，求实数a的取值范围解：（1）f(x)在(0，)上为增函数（2）a的取值范围为(，3（3）a的取值范围为0(2，)教学建议（1）主要问题归类与方法：1讨论函数的单调性问题：方法：利用函数的图象； 复合函数的单调性；利用函数单调性的定义利用导函数来求函数的单调区间
10、2不等式恒成立问题：方法：分离变量转化为求函数的最值 直接求函数的最值，再解不等式； 利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算 3已知函数的值域，求参数的取值： 方法：借助函数的图象了解函数单调性，再根据函数的单调性找最值来处理（2）方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法或，因为本题是证明函数的单调性，方法不能用作证明，所以选择方法或对于问题2，学生一般会选择方法，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法例4. 已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设h(x)f(f(x)c，其中c2，2，求函数yh
11、(x)的零点个数解：（1）a0，b3；（2）有9 个零点教学建议（1）主要问题归类与方法：1求函数的解析式问题: 方法：待定系数法，换元法，函数方程法2讨论函数的零点个数问题：方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性（2）方法选择与优化建议： 对于第1小题，是常规问题，方法也非常清楚待定系数法。第2小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用图象法来讨论。用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: 图像尽量为直线和曲线，两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画本题可以有两种考虑:一是直接画函数的yf(f(x)和yc，尽管yf
12、(f(x)是9次函数，其图像还是能够画出来的，二是将问题分解成和tf(x)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问题本题采用第二种想法，会简单些。四、反馈练习1.已知函数yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)lgx，则f(f()的值等于 .答案：lg2；(考查函数的奇偶性，对数运算)2. 已知f(x)则不等式f(x2x1)12的解集是_.答案：(1，2)；(考查分段函数及利用函数的单调性解不等式).3.已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1) .答案：1；(考查函数的奇偶性)4. 函数f(x)lnx2x1零点的个数为_.答案：1；(考查函数的图象，数形结合的思想
13、方法).5.已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_答案：；(考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想).6.已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_答案：c9；(考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集).7.已知函数f(x)(a1).若a0，则f(x)的定义域是_；若f(x)在区间(0，1上是减函数，则实数a的取值范围是_答案：；a0或1a3.(考查函数的定义域，函数的单调性).8. 已知函数f(x)log2(a2x)x2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是_答案：4，)（分离参数，
14、函数有解问题转化为求函数的值域）9.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_答案：2，0；(考查函数的图象，数形结合的思想方法).10. 已知函数f(x)x3x，对任意的m2，2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_.答案：(2，)（考查函数的单调性，不等式恒成立）11.函数f(x)对任意的m，nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.（1）求证：f(x)在R上是增函数；（2）若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.答案：（1）略；（2）a(3，2)(考查用定义法证明函数的单调性，用函数的单调性解不等式).12.已知f(x)是R上的奇函数，且
15、f(x2)f(x)当1x1，f(x)x3.（1）求证：x1是函数yf(x)的一条对称轴；（2）当x1，5时，求f(x)的表达式答案：（1）略；（2）f(x)的解析式为f(x) (考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式).13.设函数f(x)其中b0，cR.当且仅当x2时，函数f(x)取得最小值2.（1）求函数f(x)的表达式；（2）若方程f(x)xa(aR)至少有两个不相同的实数根，求a的取值集合答案：(1)f(x)(2)实数a取值的集合为.(考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法).14.已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0，1)对称（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)f(x)xax，且g(x)在区间0，2上为减函数，求实数a的取值范围；（3）若F(x)f(x)，F(x)在区间(0，2上的值不小于6，求实数a的取值范围答案：(1)f(x)x； (2) (，4； (3)a的取值范围为7，)(考查变换求函数的解析式，函数的单调性，函数的最值，分离变量法求参数范围).
