1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 函数的奇偶性与周期性 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”).相同相反基础诊断考点突破课堂总结(2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_.
2、两个偶函数的和函数、积函数是_.一个奇函数，一个偶函数的积函数是_.(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.奇函数偶函数偶函数奇函数基础诊断考点突破课堂总结3.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的_正周期.f(x)存在一个最小最小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)函数yx2在x(0，)时是偶函
3、数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称.()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(2017西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y xB.yexC.ycos xD.yexex解析 A，B中显然为非
4、奇非偶函数；C中ycos x为偶函数.D中函数定义域为R，又f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结3.已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab 的值是()A.13B.13C.12D.12解析 依题意 b0，且 2a(a1)，a13，则 ab13.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.解析 f(x)的周期为 2，f32 f12，又当1x0 时，f(x)4x22，f32 f12 412221.答案
5、1 基础诊断考点突破课堂总结5.(2014全国卷)偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1).又f(x)的图像关于直线x2对称，f(1)f(3).f(1)3.答案 3 基础诊断考点突破课堂总结考点一 函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2 x23；(2)f(x)lg（1x2）|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2 x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)
6、，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1x20，|x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x.基础诊断考点突破课堂总结又f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)，函数 f(x)为奇函数.(3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当 x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x0 时，x3 成立的 x 的取值范围为()A.(，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，)(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x24x，则 f(x)_.基础诊断考点突破课堂总结解析(
7、1)易知 f(x)2x12xa 2x11a2x，由 f(x)f(x)，得 2x11a2x2x12xa，即 1a2x2xa，化简得 a(12x)12x，所以 a1，f(x)2x12x1，由 f(x)3，得 0 x1.基础诊断考点突破课堂总结(2)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又当 x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，则 f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0，0，x0，x24x，x0基础诊断考点突破课堂总结考点三 函数的周期性及其应用【例 3】(2016四川卷)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4
8、x，则 f52 f(2)_.解析 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0，又 f(x)在 R 上的周期为 2，f(2)f(0)0.又 f52 f12 f12 4122，f52 f(2)2.答案 2 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2)1f（x），当 2x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.解析 f(x4)f(
9、x2)21f（x2）f(x).故函数的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案 2.5 基础诊断考点突破课堂总结考点四 函数性质的综合运用【例 4】(1)(2016山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时，fx12fx12.则 f(6)()A.2 B.1 C.0 D.2(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)f(log12a)2f(1)，则 a 的取值范围是()A.1，2 B.0，12C.12，2D.(0，2
10、基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当 x12时，由 f(x12)f(x12)，得 f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知 f(1)f(1)，且 f(1)(1)312.因此 f(6)f(1)2.(2)由 yf(x)为偶函数，且 f(log2a)f(log12a)2f(1).f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又 f(log2a)f(|log2a|)且 f(x)在0，)上递增，|log2a|11log2a1.解得12a2.答案(1)D(2)C 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图像的对
11、称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】(1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R上的奇函数，且 g(x)f(x1)，则 f(2 017)f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.0 D.2(2)设函数 f(x)（x1）2sin xx21的最大值为 M，最小值为 m.则 Mm_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题
12、意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即 f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.基础诊断考点突破课堂总结(2)f(x)x22x1sin xx2112xsin xx21，令 g(x)2xsin xx21，则 g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图像的对称性知 g(x)maxg(x)min0，故 Mm2.答案(1)C(2)2 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图像的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.