1、北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为( )A2iB2iC2D2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：由zi=2+i，得，z的虚部是2故选：D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取
2、一本书，共有( )种不同的取法A120B16C64D39考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题；排列组合分析：利用分类加法原理，即可得出结论解答：解：由于书架上有3+5+8=16本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法故选B点评：本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别3已知曲线y=3lnx+1的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A3B2C1D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求出函数的定义域和导数，利用导数是切线的斜率进行求解即可解答：解：函数的定义域为（0，+），则函数的导数f（x）=，由f（x）=，即x2x6=0
3、，解得x=3或x=2（舍），故切点的横坐标为3，故选：A点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，解导数方程即可，注意定义域的限制4由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是( )A2ln2B2ln21Cln2D考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分，面积为=lny=ln2ln=2ln2；故选A点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题5以下说法正确的是
4、( )A在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件考点：分析法和综合法 专题：证明题分析：利用综合法证题思路（执因索果）与分析法的证题思路（执果索因）及充分条件与必要条件的概念即可得到答案解答：解：设已知条件为P，所证结论为Q，综合法的证题思路为执因索果，即PQ1Q2QnQ，在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故A错误，B正确；分析法的证题思路是执果索因，即QQnQ2
5、Q1P显然，在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故C错误；在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的充分条件故选B点评：本题考查分析法与综合法的应用，考查充分条件与必要条件的概念，属于中档题6设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值点为( )Ax=eBx=ln2Cx=e2Dx=考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的概念及应用分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值点解答：解：函数的定义域为（0，+）求导函数，可得f（x）=1+lnx令f（x）=1+lnx=0，可得x=0x时，f（x）0，x时，f（x）0
6、x=时，函数取得极小值，故选：D点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7已知211=2，2213=34，23135=456，以此类推，第5个等式为( )A241357=5678B2513579=56789C2413579=678910D2513579=678910考点：类比推理 专题：综合题；推理和证明分析：根据已知可以得出规律，即可得出结论解答：解：211=2，2213=34，23135=456，第5个等式为2513579=678910故选：D点评：此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问
7、题对于等式，要注意分别发现：等式的左边和右边的规律8在复平面内，复数34i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为( )A2+2iB22iC1+iD1i考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求解答：解：i（2+i）=1+2i，复数34i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，4），B（1，2）线段AB的中点C的坐标为（1，1）则线段AB的中点C对应的复数为1i故选：D点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式
8、的乘法运算，是基础题9已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是( )ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由于f（x）=x+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f（）=sin=10，排除C，只有A适合解答：解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f（）=sin=10，排除C，只有A适合，故选：A点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形
9、结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题10设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5mx42x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为( )A（，）B，5C（，3）D（，5考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论解答：解：f（x）=x5mx42x2，f（x）=x4mx34x，f（x）=x3mx24f（x）=x5mx
10、42x2在区间（1，3）上为“凹函数”，f（x）0x3mx240，x（1，3），在（1，3）上单调递增，在（1，3）上满足：14=3m3故答案为：C点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11函数f（x）=x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是3，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题分析：求出f（x），因为要求函数的增区间，所以令f（x）大于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可解答：解：f（x）=3x2+a，令f（x
11、）=3x2+a0即x2，当a0，xR；当a0时，解得x，或x；因为函数在区间（1，+）内是增函数，所以1，解得a3，所以实数a的取值范围是3，+）故答案为：3，+）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题12设集合A=1，2，3，4，5，a，bA，则方程+=1表示焦点位于y轴上的椭圆有10个考点：椭圆的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据ab，对A中元素进行分析可得到答案解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，ab，当b=2时，a
12、=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故答案为：10点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出ab属基础题13设，则为考点：微积分基本定理 专题：计算题分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可解答：解：=+=cosx+x=故答案为：点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分属于基础题14已知复数z=x+yi（x，yR，x0）且|z2|=，则的范围为考点：复数求模 专题：计算题分析：利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出解答：解：|z2|=|x2+yi|，（x2）2+y
13、2=3设，则y=kx联立，化为（1+k2）x24x+1=0直线y=kx与圆有公共点，=164（1+k2）0，解得则的范围为故答案为点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键15在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是考点：类比推理 专题：计算题；推理和证明分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变解答：解：
14、建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：故答案为：点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力解题的关键是掌握好类比推理的定义16对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被G（X）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为，；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；f（x）=lg（ax2+x）（xD1），g（x）=sinx（xD2），则存在实数a（a0），使得f（x）在
15、区间D1D2 上被g（x）替代；其中真命题的有考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：命题直接由替代的定义得出为真命题；命题|f（x）g（x）|=，根据导数判断函数x+在区间上的最值，从而可说明|f（x）g（x）|1，从而可判断该命题正确；命题，根据替代的定义，|f（x）g（x）|1在1，e上恒成立，根据导数判断函数lnxx+b在1，e上的单调性，根据单调性即可求出函数lnxx+b的值域，该值域应为区间1，1的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题可先找出一个D1D2区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）g（x）|1，从而便可判断出该命题错误，
16、这样便可最后找出所有的真命题解答：解：|f（x）g（x）|=1；f（x）可被g（x）替代；该命题为真命题；|f（x）g（x）|=；设h（x）=，h（x）=；时，h（x）0，x（时，h（x）0；是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；|f（x）g（x）|1；f（x）可被g（x）替代的一个替代区间为；该命题是真命题；由题意知：|f（x）g（x）|=|lnxx+b|1在x1，e上恒成立；设h（x）=lnxx+b，则h（x）=；x1，e；h（x）0；h（x）在1，e上单调递减；h（1）=b1，h（e）=1e+b；1e+bh（x）b1；又1h（x）1；e2b2；该命题为真命题；1）若a0，解ax2+x
17、0得，x，或x0；可取D1=（0，+），D2=R；D1D2=（0，+）；可取x=，则|f（x）g（x）|=a2+1；不存在实数a（a0），使得f（x）在区间D1D2 上被g（x）替代；2）若a0，解ax2+x0得，x0，或x；可取D1=（，0），D2=R；D1D2=（，0）；取x=，则|f（）g（）|=|a2|1；不存在实数a（a0），使得f（x）在区间D1D2 上被g（x）替代；综上得，不存在实数a（a0），使得f（x）在区间D1D2 上被g（x）替代；该命题为假命题；真命题的有：故答案为：点评：考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数
18、大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=x3+ax2+2，x=2是f（x）的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）f（x）在区间1，3上的最大值和最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；导数的概念及应用分析：（1）由x=2是f（x）的一个极值点，得f（2）=0，解出可得；（2）由（1）可求f（x），f（x），令f（x）=0，得x1=0，x2=2当x变化时f（x），f（x）的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；解
19、答：解：（1）f（x）在x=2处有极值，f（2）=0f（x）=3x2+2ax，34+4a=0，a=3经检验a=3时x=2是f（x）的一个极值点，故a=3；（2）由（1）知a=3，f（x）=x33x2+2，f（x）=3x26x令f（x）=0，得x1=0，x2=2当x变化时f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，0）0（0，2）2（2，3）3f（x）+00+f（x）2222从上表可知f（x）在区间1，3上的最大值是2，最小值是2点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键18已知a，b，c均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，
20、求证：a，b，c中至少有一个大于0考点：反证法与放缩法 专题：证明题分析：用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证解答：解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x1）2+（y1）2+（z1）2+30，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点19已知函数 f（x）=exax1（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）在1，2上有且仅有一个零点，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数零
21、点的判定定理 专题：导数的综合应用分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（2）分离参数得，令（x1，2），通过求导得到函数g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值、最小值，进而求出a的范围解答：解：（1）f（x）=exa，当a0时，f（x）0，则f（x）在（，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（，lna）上单调递减，f（x）在（lna，+）上单调递增（2）由，得，令（x1，2），则令，h（x）=x（ex1），当1x2时，h（x）0，h（x）在1，2上单调递增，g（x）0，g（x）在1，2上单调递增，在1，2上的最小值为，最大值为，当时，函数在1，2上有且仅有一
22、个零点点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，（2）中分离出a，求出相关函数的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题20已知数列an的各项均为正整数，对于任意nN*，都有2+2+成立，且a2=4（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列an的通项公式，并给出证明考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通过数列的前3项，猜想数列an的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可解答：解：（1）因为，a2=4当n=1时，由，即有，解得因为a1为正整数，故a1=1 当n=2时，由，解得8a310，所以a3=9 （2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：下面用数学归纳法证明1当n=1，2，3时，由（1）知均成立2假设n=k（k3）成立，则，由条件得，所以，所以 因为k3，又，所以即n=k+1时，也成立由1，2知，对任意nN*， 点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力