1、3.3幂函数学 习 任 务核 心 素 养1了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(重点、易混点)2结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点、难点)3能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)1结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养2借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式yx0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般
2、的性质？知识点1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数如何判断一个函数是幂函数？提示(1)x的系数为1；(2)x为自变量；(3)为常数1.(多选)下列函数中是幂函数的是()AyByx3Cy3xDyx1ABD只有y3x不符合幂函数yx的形式，故选ABD.2.已知幂函数f(x)x的图象过点，则f(4)_.由f(2)可知2，即1，f(4)41.知识点2幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图所示：3.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限
3、()答案(1)(2)4.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx3，yx，yx2，yx1B因为yx3的定义域为R且为奇函数，故应为图；yx2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图.同理可得出选项B正确知识点3幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x0，)时，增函数x(，0时，减函数增函数增函数x(0，)时，减函数x(，0)时，减函数常见的幂函数的图象与性质(1)函数yx，yx2，yx3，yx和y
4、x1的图象都通过点(1,1)；(2)函数yx，yx3，yx1是奇函数，函数yx2是偶函数；(3)在区间(0，)上，函数yx，yx2，yx3，yx单调递增，函数yx1单调递减；(4)在第一象限内，函数yx1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近5.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当幂指数取1,3，时，幂函数yx是增函数()(2)当幂指数1时，幂函数yx在定义域上是减函数() 答案(1)(2) 类型1幂函数的概念【例1】已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得解得所以m3，n.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常
5、数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为()A0B1C2D3Byx2，是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数 类型2幂函数的图象及应用【例2】点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；
6、(3)当x(0,1)时，f(x)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()ABCD(1)B(2)B(1)令a2，b，c，d1，正好和题目所给的形式相符合在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.(2)yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移1个单位得到的(如选项A中的图所示)，将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B. 类型3幂函数性质的综合应用【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.由所给幂的特征，思考如
7、何构造幂函数，幂函数的单调性如何？解(1)函数yx3是增函数，且0.210.23，0.2131.1，且yx在0，)上单调递增，1.21.1，即1.20.9.比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”3比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)1与1.解(1)因为幂函数yx0.5在0，)上是单调递增的，又，所以0.50.5.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.1幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是()Ayx
8、1ByxCyx2Dyx3B设f(x)x，则2，f(x)x.选B.2已知函数f(x)(a2a1)x为幂函数，则实数a的值为()A1或2B2或1C1D1C因为f(x)(a2a1)x为幂函数，所以a2a11，即a2或1.又a20，所以a1.3函数yx3在区间4，2上的最小值是_因为函数yx3在(，0)上单调递减，所以当x2时，y最小值(2)3.40.232.3与0.242.3的大小关系是_0.232.30.242.3令yx2.3，由于yx2.3在(0，)上单调递减且0.230.242.3.回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断一个函数是幂函数的关键是什么？提示关键是判断其是否符合yx(为常数)的形式2所有幂函数yx在原点处都有意义吗？图象都过点(1,1)吗？提示当0时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1,1)3在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？提示观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数yx的图象在第一象限内具有如下特征：直线y1，yx将直角坐标平面的第一象限在直线x1的右侧部分分为()()()三个区域，如图所示，若(1，)yx的图象经过区域()；若(0,1)yx的图象经过区域()；若(，0)yx的图象经过区域()，并且在直线x1的右侧，从x轴起，幂函数yx的指数由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”