1、第13讲 导数的意义及运算 1x考纲要求考点分布考情风向标1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义，求函数yC(C为常数)，yx，yx2，y的导数4.能利用给出的8个基本初等导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数2012年新课标卷考查导数的几何意义与直线方程；2013年新课标卷考查导数的几何意 义、单调性、极大值等；2013年大纲卷考查导数切线的几何意义；2015年新课标卷以三次函数为背景，考查导数切线的几何意义本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导1函数导数的定义一般地，函
2、数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是0limx yx0limx fx0 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 yxx0，即 f(x0)0limx yx0limx fx0 xfx0 x.2导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0)如果物体运动的速度随时间变化
3、的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0)3基本初等函数的导数公式表0 x1原函数导函数f(x)Cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sinxf(x)cosxF(x)cosxf(x)_f(x)ax(a0)f(x)axlna(a0)f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)(a0，且a1)f(x)lnxf(x)_1lnxaexsinx1x4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；u(x)v(x)u(x)v(x)uxvx uxvxuxvxvx2v(x)0.的导函数 y_.x2x21已知函数 f(x)42
4、x2，则 f(x)()CA4xB8xC82xD16x2函数 ysinxxxcosxsinxx2解析：ysinxxsinxxxcosxsinx.A3若 f(x)在 x0 处可导，则 f(x0)()A.0limx fx0fx0 xxB.0limx fx0 xfx0 xxC.0limx fx0 xfx02xxD.0limx fx02xfx0 xx4(2014 年广东)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_.5xy20解析：y5ex|x05，即斜率为 k5，所以切线 的方程为 y5x2，即 5xy20.考点 1 导数的概念例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f(x0)相等的是
5、()ABCD0limx fx0fx02x2x；0limx fx0 xfx0 xx；0limx fx02xfx0 xx；0limx fx0 xfx02xx.解析：0limx fx0fx02x2x0limx fx02x2xfx02x2xf(x0)；0limx fx0 xfx0 xx20limx fx0 x2xfx0 x2x2f(x0)；0limx fx02xfx0 xx0limx fx0 xxfx0 xxf(x0)；所以正确故选 B.答案：B【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式limk0fx0kfx0kf(x0)其中 k(一般用x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一
6、致性0limx fx0 xfx02xx30limx fx02x3xfx02x3x3f(x0)fx0kfx0D【互动探究】1若 f(x0)2，则 limk02k()AA1B2C112解析：f(x0)0limkfx0kfx0k2(xk)，0limkfx0kfx02k120limkfx0kfx0k12f(x0)1221.考点 2 导数的计算例 2：(1)函数 f(x)sinxa2 的导函数 f(x)_；解析：函数f(x)sinxa2的自变量为x，a为常量，f(x)cosx.答案：cosx(2)(2015 年天津)已知函数 f(x)axlnx，x(0，)，其中a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数，
7、若 f(1)3，则 a 的值为_解析：f(x)a(1lnx)，f(1)a3.答案：3(3)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)3x2 2xf(2)，则 f(5)_.解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2)令 x2，得 f(2)12.再令x5，得 f(5)652f(2)6.答案：6【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数尤其是对含有多个字母的函数时，一定要清楚函数的自 变量是什么，对谁求导，如fxx2sin的自变量为x，而fx2
8、sin的自变量为.【互动探究】2设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.2解析：设 ext，则 xlnt，f(t)lntt，即 f(x)lnxx，f(x)1x1，f(1)1112.考点 3 曲线的几何意义例 3：(1)(2015 年新课标)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1，即切线斜率 k3a1.又f(1)a2，切点为(1，a2)切线过(2,7)，a2712 3a1.解得 a1.答案：1(2)(2013 年大纲)已知曲线 yx4ax21 在点(1，a2)处切线的斜率为
9、8，则 a()A9B6C9D6解析：y4x3 2ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率 ky|x142a8，解得 a6.答案：D(3)(2012 年新课标)曲线 yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_解析：y3lnx4，切线的斜率为 4.则切线方程为4xy30.答案：4xy30【规律方法】求曲线 yfx在点Px0，fx0处该点为切点的切线方程，其方法如下：求出函数yfx在xx0 处的导数fx0，即函数 yfx在点 Px0，fx0处的切线的斜率；切点为 Px0，fx0，切线方程为yfx0fx0 xx0.(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.【互动探究】3(2
10、015 年陕西)设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y(1,1)1x解析：因为 yex，所以 yex.所以曲线 yex 在点(0,1)处切线的斜率 k1y|x0e01.设 的坐标为(x0，y0)(x00)，则 y01x0.因为 y1x，所以 y1x2.所以曲线 y1x在点 处的切线的斜率 k2y|xx01x20.因为 k1k21，所以1x201，即 x201.解得 x01.因为 x00，所以 x01.所以 y01，即 的坐标是(1,1)易错、易混、易漏 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 例题：已知函数 f(x)ax3bx23x在 x1 处取得极值，若 过 点 A(0,16)
11、作 曲 线 y f(x)的 切 线，则 切 线 方 程 为_正解：f(x)3ax22bx3，由题意 x1 是方程 f(x)0 的根，3a2b30，3a2b30.解得 a1，b0.曲线方程为 yx33x，点 A(0,16)不在曲线上答案：9xy160设切点为 M(x0，y0)，则 y0 x303x0.f(x0)3(x201)，切线方程为 yy03(x201)(xx0)点 A(0,16)在切线上，16(x303x0)3(x201)(0 x0)化简，得 x308.解得 x02.切点为 M(2，2)，k9.切线方程为 9xy160.【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个
12、公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysinx 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数 yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为 P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)求曲线 yf(x)外一点 P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的 切线方程，其方法如下：设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；利用斜率公式 ky0yAf(xA)建立关于 xA 的方程，解x0 xA出 xA，进而求出切线方程1导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等3过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点4求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin的自变量为 x，而 f()x2sin的自变量为.2导数 f(x0)0limx yx0limx fx0 xfx0 x.