1、4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】1.了解圆与圆之间的五种位置关系.2.会判断圆与圆的位置关系.圆与圆位置关系的判定(1)几何方法：设两圆半径分别为 r1，r2，圆心距离为 d，则两圆的位置关系如下表所示：两圆位置关系图形情况d与r1，r2的关系外离_外切d_dr1r2r1r2(续表)两圆位置关系图形情况d与r1，r2的关系相交|r2r1|dr1r2内切d_内含_|r2r1|0d0，圆(x1)2(y3)2r2与x2y216的位置关系不可能是()Dx2y60A.相切C.内含和内切B.相交D.外切和外离练习2：两圆x2y24x4y0，x2y22x120相于 P，Q 两点，则直线 PQ 的方程
2、是_.【问题探究】设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20.若两圆相交，则经过两圆交点的弦所在的直线方程是什么？答案：(D1D2)x(E1E2)yF1F20.题型 1 判断圆与圆的位置关系【例 1】判断下列两个圆的位置关系.(1)C1：x2y24x6y90，C2：x2y212x6y190；(2)C1：x2y22x2y20，C2：x2y24x6y30.解：(1)把圆C1和C2的方程化成标准方程，得C1：(x2)2(y3)24，C2：(x6)2(y3)264，所以两圆的圆心分别为C1(2,3)，C2(6，3)，半径分别为r12，r28.故|C1C2|r1r2，所以两
3、圆外切.从而|C1C2|26233210.(2)把圆C1和C2的方程化成标准方程，得C1：(x1)2(y1)24，C2：(x2)2(y3)216，所以两圆的圆心分别为C1(1,1)，C2(2,3)，半径分别为r12，r24.从而|C1C2|122132 13.又因为r1r26，|r1r2|2，所以|r1r2|C1C2|0，故此方程有两个不相等实根.圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点.圆 C1 与圆 C2 相交.方法二：圆 C1 的圆心为(3,0)，半径为 r1 15，圆 C2 的圆心为(0,2)，半径为 r2 10，又|C1C2|13，|r1r2|C1C2|r1r2.圆 C1 与圆 C2
4、相交.题型 2 两圆相交弦问题 【例2】求圆x2y240与圆 x2y24x4y120的公共弦的长.思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解.解：方法一：由题意，列出方程组把 yx2 代入 x2y240，x2y240，x2y24x4y120，消去二次项，得 yx2.得 x22x0，解得 x12，x20.y10，y22.两圆的交点坐标为 A(2,0)，B(0,2)，公共弦长|AB|2 2.方法二：由题意，列出方程组x2y240，x2y24x4y120，消去二次项，得 yx2，它就是公共弦所在直线的方程.圆 x2y240 的半径 r2，圆
5、心到直线 xy20 的距离为 d|002|2 2.两圆的公共弦长为 2 r2d22 2.涉及圆的弦长问题，通常考虑由半径r、圆心到 直线的距离 d、弦长的一半构成的直角三角形求解，即公共弦 长为 2 r2d2.【变式与拓展】2.已知圆C1：x2y210 x10y0和圆C2：x2y26x2y400 相交于 A，B 两点，求公共弦 AB 的长.解：方法一：由两圆的方程相减得到的方程即为公共弦 AB所在的直线方程，即为 4x3y10.两圆交点的坐标分别是 A(2,6)，B(4，2).由4x3y10，x2y210 x10y0，解得x2，y6或x4，y2.故|AB|42226210.方法二：同方法一，先
6、求出公共弦所在直线的方程：4x3y10.过 C1 作 C1DAB 于 D.圆 C1 的圆心 C1(5,5)，半径 r15 2，则|C1D|201510|55.|AB|2|AD|2 C1A2C1D22 5 225210.题型 3 圆系方程的应用 【例3】求经过两圆x2y24x30和x2y24y30 的交点，并且圆心在直线 2xy40 上的圆的方程.思维突破：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中待定系数可依据圆心在已知直线上求得.解：设所求圆的方程为 x2y24x3(x2y24y3)0，即(1)x2(1)y24x4y330.则所求圆的圆心为21，21.41 2140，解得 43.所求圆
7、的方程为 x2y212x16y30.求经过两圆交点的圆可考虑圆系方程，但要注意1.另外由于圆系中不包括圆x2y24y30，故应检 验圆x2y24y30是否也满足题中条件，即圆心是否在直 线 2xy40 上.【变式与拓展】3.求圆心在直线 xy0 上，且过两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y80 的交点的圆的方程.解：设所求圆的方程为 x2y22x10y24(x2y22x2y8)0，即(1)x2(1)y2(22)x(210)y8240，同除以 1 可得，x2y2221 x2101 y8241 0.此圆的圆心 P11，51.又圆心在直线 xy0 上，11510，得 2.所求圆的方程
8、为 x2y26x6y80.【例4】集合A(x，y)|x2y24和B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 AB 中有且仅有一个元素，则r 的值是_.易错分析：两圆有且只有一个公共点时，忘掉分内切和外切两种情形处理而漏解.在解决有关两个圆只有一个公共点和没有公共点的相关问题时，要注意分内切、外切和内含、外离解决，否则有可能会漏解.答案：3 或 7方法规律小结1.判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距d与两圆半径的和、差比较大小.dRr时，两圆外切；d|Rr|时，两圆内切；0dRr时，两圆外离；|Rr|dRr时，两圆相交.若两圆相交，则方程是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程就是它们的公切线方程.2.过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1).方程是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2y2D2xE2yF20.当1时，式变为一条直线：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.
