1、第11讲 抽象函数 考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数模型的实际背景2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质2014年新课标卷考查抽象函数的奇偶性从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要是与周期性、单调性相结合，求函数值、比较大小等，重点探讨幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式及基本性质抽象函数解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2)抽象函数的类型正比例函数型对数函数型指数函数型等价形式f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)实例f(x)2xf(x)log2xf(x)2x12x
2、fx12()()f xf x1已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，则 f(x)是(B)A奇函数C非奇非偶函数B偶函数D不确定解析：令 xy0，则 2f(0)2f(0)2，因为 f(x)0，所以f(0)1.令 x0，则 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)，f(x)为偶函 数故选 B.2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)()A13B2CCD3若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f的值为()A1322132TA0 B.T2 CT DT24已知函数 f(x)的定义域为(0，)，并且对任意正数 x，y
3、 都有 f(xy)f(x)f(y)(1)f(1)_；(2)若 f(8)3，则 f()_.0212考点 1 正比例函数型抽象函数例 1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问当3x3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由(1)证明：令 xy0，则有 f(0)2f(0)f(0)0.令 yx，则有 f(0)f(x)f(x)，即 f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)解：当3x3 时，f(x)有最值，理由如下：yf(x)在 R 上为减函数因此 f(3)为函数的最小值，f
4、(3)为函数的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函数的最大值为 6，最小值为6.任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性(3)判断单调性小技巧：设 x10f(x2x1)0 f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递减【互动探究】1已知定义在 R 上的函
5、数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则下列判断错误的是()D解析：f(0)f(00)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)f(x)20.故选 D.Af(0)0 Bf(1)2f12Cf(1)12f(2)Df(x)f(x)1 时 f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式 f(2x21)2.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1)又令x1x21，得2f(1)f(1)再令x1x21，得f(1)0.从而f(1)0.于是有f(x)f(x)
6、，所以f(x)是偶函数(2)证明：设 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)f(x1)fx1x2x1f(x1)fx1fx2x1 fx2x1.由于 0 x11.从而 fx2x1 0.故 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以 f(x)在(0，)上是增函数(3)解：由于 f(2)1，所以 2f(2)f(2)f(4)于是待解不 等式可化为 f(2x21)f(4)，结合(1)(2)已证结论，可得上式等价于|2x21|4，且 2x210.解得x 102 x 102，且x 22.【规律方法】(1)解决对数函数型抽象函数的一般步骤为：f(1)0f1x f(x)fxy f(x)f(y)单调性(2
7、)判断单调性小技巧：设 0 x1f(x1)，f(x)是增函数【互动探究】2对于函数 f(x)定义域中任意 x1，x2(x1x2)有如下结论：f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；当 f(x)lgx 时，上述结论中正确的序号是_fx1fx2x1x20；fx1x221，且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b)(1)求证：f(0)1；(2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围0.(1)证明：令 ab0，则 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)证
8、明：当 x0 时，x0，f(0)f(x)f(x)1.f(x)1fx又当 x0 时，f(x)10.xR 时，恒有 f(x)0.f(x2x1)1.(3)证明：设 x1x2，则x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，fx2fx1f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函数(4)解：由 f(x)f(2xx2)1，f(0)1 得 f(3xx2)f(0)f(x)是 R 上的增函数，3xx20.0 x3.x 的取值范围是x|0 xx2，x1x20，则f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函
9、数 f(x)是增函数【互动探究】3对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2(x1x2)，有如下结论：f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；fx1fx2x1x20；fx11x10.故成立；当 x10 时，f(x1)1，fx11x10；当 x10时，0f(x1)0.故不成立；f(x1)2x1 12x1 1fx1.故成立思想与方法利用转化与化归思想解答抽象函数例题：已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y f为偶函数，对于函数 yf(x)有下列几种描述：yf(x)是周期函数；x是它的一条对称轴；(，0)是其图象的一个对称中心；其中描述正确的是_(只填序号)2x当x时，它一定取最大值2解析：已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y f为偶函数，不妨设 f(x)sinx，显然错误，显然正确，而有可能不正确，因为函数 f(x)sinx 也满足条件，而 不成立 答案：2xf(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(x1x2)f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤，但不能用具体函数来代替抽象的解析式