1、第三章不等式1不 等 关 系学习目标1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系(数学抽象)2.会用不等式(组)正确表示出不等关系(逻辑推理)3.理解并掌握不等式的常用基本性质(数学抽象)【必备知识自主学习】导思1.如何比较实数大小?2.不等式性质有哪些?1.不等关系在数学意义上,不等关系可以体现为以下几种:(1)常量与常量之间的不等关系.(2)变量与常量之间的不等关系.(3)函数与函数之间的不等关系.(4)一组变量之间的不等关系.【思考】表示不等关系的数学不等号有哪些?提示:表示不等关系的数学不等号有,0,那么ab.(2)如果a-b0,那么abbb,bcac;同加性:aba+cb+c;同乘性:
2、ab,c0acbc;ab,c0acb+d;累乘性:对于同向不等式acbd;不等式的乘方:ab0an(nN,且n2);不等式的开方:ab0(nN,且n2).【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)对于实数a与b,a2+b22ab.()(2)对于实数a与b,若ab,则a2b2.()(3)对于实数a与b,若ab,则a3b3.()(4)若ab,则acbc.()(5)a2一定大于a.()提示:(1).对于实数a与b,(a-b)20,所以a2+b22ab.(2).对于实数a与b,若ab0,则a2b2;若a0b,则a2b2不一定成立.(3).对于实数a与b,若ab0,则a3b3;若a0b,
3、则a30b3;若0ab,则0-a-b,(-a)3(-b)3,即-a3b3.综上所述,对于实数a与b,若ab,则a3b3.(4).当c=0时,ac=bc;当c0时,acbc.(5).当0a1时,a2a.2.(2020上海高一检测)若a0 B.-ab C.a2b2 D.a3b3【解析】选D.因为a0”“0,知a+6a-1.答案:(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+10,知a2-aa-2.答案:【关键能力合作学习】类型一用不等式表示不等关系(数学抽象)【题组训练】1.今天的天气预报说:明天早晨最低温度为9,白天的最高温度为16,那么明天白天的温度t满足的不等关系为.2.如
4、图,在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍,上述不等关系可用W表示为.3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的售价设为x元,用不等式表示销售的总收入不低于20万元为.【解析】1.白天的温度介于最低温度与最高温度之间,故9t16.答案:9t162.仓库的长L=-10,所以-104W.答案:-104W3.售价为x元时的销量为8-0.2,故销售总收入不低于20万元表示为x20.答案:x20【解题策略】(1)常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号
5、文字语言数学符号大于至多小于b0,cd0,e.四步内容理解题意分式证明可借助不等式性质.思路探求依据已知条件得出a-c与b-d的大小,从而得到与的大小,再利用e0得出结论.书写表达因为cd-d0,又因为ab0,所以a+(-c)b+(-d)0,即a-cb-d0,所以0.又因为e.题后反思在利用不等式的性质,解决与不等式有关的问题时,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过对其条件与结论的分析,利用不等式的性质,探索论证的思路,选择合理的论证方法予以证明.【解题策略】利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础,对任意两个实数a,b,有a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab,cd
6、,则acbdB.若ab0,bc-ad0,则-b,cd,则a-db-cD.若ab,cd0,则【解析】选C.若a0b,0cd,则ac0,bc-ad0,则0,化简得-0,故B错;若cd,则-d-c,又ab,则a-db-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=-1,故D错.2.已知1a4,2b8.试求2a+3b与a-b的取值范围.【解析】因为1a4,2b8,所以22a8,63b24,所以82a+3b32.因为2b8,所以-8-b-2.又因为1a4,所以1+(-8)a+(-b)4+(-2),即-7a-b0,b0,且ab,比较+与a+b的大小.【思路导引】将+与a+b进行作差
7、、化简,然后利用a0,b0,ab判断式子的正负,即可得出大小关系.【解析】-(a+b)=.因为a0,b0,ab,所以(a-b)20,a+b0,ab0,所以0,故+a+b.【变式探究】已知xR,比较x3-1与2x2-2x的大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),因为x2-x+1=+0,所以当x1时,(x-1)(x2-x+1)0,即x3-12x2-2x;当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;当x1时,(x-1)(x2-x+1)0,即x3-12,则mm与2m的大小关系是
8、.【思路导引】比较mm与2m大小,如果作差,则不能再变形化简,可尝试作商再变形化简,与1比较大小即可得出结论.【解析】因为=,又m2,所以1,所以1,又2m0,故mm2m.答案:mm2m【解题策略】比较大小的方法(1)作差法:比较两个代数式的大小,可以根据它们的差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和,然后判断正负.作差法的一般步骤:作差变形判号定论.(2)作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小.作商法的一般步骤:作商变形与1比较大小定论.(3)单调性法
9、:利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数,再利用单调性.提醒:在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法比较大小.【题组训练】1.已知0a,且M=+,N=+,则M,N的大小关系是.【解析】因为0a0,1+b0,1-ab0,所以M-N=+=0,即MN.答案:MN2.若ab0,比较aabb与abba的大小.【解析】=aa-bbb-a=()a-b,因为ab0,所以1,a-b0,所以()a-b1,即1,又因为ab0,所以aabbabba.3.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中xR. (2)设x,y,zR,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2
10、z-2的大小.【解析】(1)因为x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)0.所以当x=1时,x6+1=x4+x2;当x1时,x6+1x4+x2.综上所述,x6+1x4+x2,当且仅当x=1时取等号.(2)因为(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)20,所以5x2+y2+z22xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=且z=1时取等号.【补偿训练】 (2020济南高一检测)已知aR,且a1,比较a+2与
11、的大小.【解析】(a+2)-=.因为+0恒成立,所以当a-10,即a1时(a+2)-0;当a-10,即a1时,(a+2)-1时,a+2;当a1时,a+2.【课堂检测素养达标】1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于100 m,用不等式表示为() A.v120或d100 B. C.v120 D.d100【解析】选B.最大限速与车距是同时的.2.若实数a,b满足0a1,-1b1,则a+2b的取值范围是()A.(-2,3) B.(-3,2) C.(2,3) D.(-2,2)【解析】选A.因为-1b1,所以-22b2,又因为0a1,所以-2a
12、+2bb0,cR,则下列不等式恒成立的是 ()A.acbc B. D.acbc【解析】选C.当c0时,不等式ac0,故B错误C正确;当c0时,不等式acbc不成立,D错误.4.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是.【解析】两种总量至少120吨,用不等式表示为x+y120.答案:x+y1205.(2020德阳高一检测)已知x,yR,求证:x2+2y22xy+2y-1.【证明】x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)20,所以x2+2y22xy+2y-1成立.