1、都昌县第二中学2020-2021学年度高二下学期数学周练试卷（三）（理）一、单选题1已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）ABCD2已知，均为正数，且，以下有两个命题：命题一：，中至少有一个数小于3；命题二：若，则，中至少有一个数不大于1关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）A命题一错误命题二错误B命题一错误命题二正确C命题一正确命题二错误D命题一正确命题二正确3观察右图：则第（ ）行之和为A2010B2009 C1006D10054已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）A B C D5已知，其导函数是，若，则（ ）
2、ABCD6已知，则（ ）ABC15D207函数则函数是A奇函数但不是偶函数B偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数8在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（）ABCD9如右图，已知点沿着半径为的半圆弧按逆时针方向从点行进到点（不含），由弧BP，线段围成的平面图形的面积记为，设， .则的图象为（ ）A BC D10北京财富全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）ABCD11在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需
3、品.已知某药店有4种不同类型的口罩，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ）A330种B345种C360种D375种12已知函数有两个零点，且则下列结论中正确的是（ ）A B C D二、填空题13观察下列式子：，.，根据以上式子可以猜想第个式子是_.14设复数（为虚数单位），则_.15现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_（用数字作答）16已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为_.三、解答题17已知i是虚数单位，
4、设复数z满足.（1）求的最小值与最大值；（2）若为实数，求z的值.18请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）,称为莱布尼兹三角形(如表2)请回答下列问题:（I）记为表1中第n行各个数字之和,求，并归纳出；（II）根据表2前5行的规律依次写出第6行的数.19已知二次函数，直线，直线（其中为常数，若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分），如图所示.（1）求的值；（2）求
5、阴影面积关于的函数的解析式.20某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）21某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB50米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且,如图所示.（）
6、设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用22设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.（1）求的值；（2）求函数的极值；（3）证明:.参考答案1B 2D 3C【分析】根据图形中数据，归纳可得第行各数之和，从而可得结果.【详解】由图形知，第一行有1个数，其和为；第二行有3个数，其和为；第三行有5个数，其和为；第四行有7个数，其和为， 所以第行有个数，其和为，令，解得.故选：C【点睛】方法点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明
7、确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.4A【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，设第项的系数最大，则，即，求得或6，此时，故选：A【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，
8、需列出不等式组，解之求得.5B【分析】求出和，可得出的表达式，进而可计算得出的值.【详解】，其中且，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.6D【分析】观察所求系数的和，可知原式两边求导，再赋值求解.【详解】原式两边求导数，得 当时，.故选：D【点睛】本题考查二项式定理系数和，导数计算，重点考查转化的思想，属于中档题型.7A【详解】试题分析：当时，当时，由数学归纳法知对任意的，有，同理当时，因此的定义域是且不可能是偶函数，由于是奇函数，假设是奇函数，则，即也是奇函数，因此对任意的，有是奇函数，本题选A.考点：数学归纳法，函数的奇偶性.8C【分析】根据积分和
9、二项式定理的内容求出，结合程序框图进行模拟运算即可【详解】解：，二项式的展开式中的系数为，即，根据程序图，若此时输出，不满足题意，则继续运行得，若此时输出，不满足题意，则继续运行得，若此时输出，不满足题意，则继续运行得，若此时输出，满足题意，所以判断语句应填写故选C项.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出，的值，利用模拟运算法是解决本题的关键9A【分析】由，可得，进一步可得，通过分析的导函数即可得到答案.【详解】取AB的中点O，连接，因为，所以，则，所以，这说明在上是递减的，即的图象上点的切线的斜率大于0且随x增大越来越小，故选项A中的图象符合.故选：A【点睛】本题考查由解析式选择函
10、数图象的问题，涉及到导数的几何意义，考查学生逻辑推理能力，数形结合的思想，是一道中档题.10B【分析】首先从人中选出人平均分为组，根据先分组再排序的原则结合分步乘法计数原理可得出结果.【详解】首先从人中选出人共种，然后将人平均分为组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共种. 故选：B.【点睛】本题考查分组分配问题，涉及平均分组问题，考查计算能力，属于中等题.11C【分析】根据5人中是否有人购买型口罩分类，再按照平均分组和不平均分组计算求值.【详解】若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有 种方法，若这5人
11、有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法，综上可知，一共有种方法.故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用，重点考查分步分类计数原理的应用，属于中档题型，本题的关键是分类准确，区分平均分组和不平均分组.12C【分析】先求导，讨论函数的单调性，再对四个选项一一验证：对于A：直接利用两个零点的判断方法验证；对于B和C：利用两个零点，的范围判断；对于D：利用零点定义计算出，进行判断.【详解】，时，在恒成立，此时在R上单调递减，不合题意；当时，由，解得，当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调减区间为，单调增区间为，可知当时，
12、函数取得极小值为，又当时，时，要使函数有两个零点，则，得，故A错误；由，极小值点，可得，是的两个零点，可得，故，故D错误；由，设，则，为的两个零点，得在上单调增，在上单调减，故B错误；C正确综上，故选:C【点睛】利用导数研究函数的零点问题，首先要判断函数的极值点，再判断函数的单调性，如果只存在一个极小值点，则当极小值小于零时函数存在两个零点；如果只存在一个极大值点，则当极大值大于零时函数存在两个零点特别提醒：1函数必须是连续的；2函数在极值点左右两侧必须是单调性相反13【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分
13、式中的分子与不等式序号的关系是,分母是不等式的序号,由上述分析即可得到第2019个不等式,即可得到结论.【详解】解：由已知中的不等式.得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分式中的分子与不等式序号的关系是,分母是不等式的序号,由上述分析即可得到第2019个不等式为:.故答案为: .【点睛】本题主要考查了按规律写出不等式,解题的关键是归纳推理其规律.14【分析】首先化简可得,然后观察多项式,如果加上各项乘以后,恰好是二项式，所以原式,化简即可,由二项式定理代值计算可得.【详解】解：化简可得,原式故答案为:.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算,涉及二项
14、式定理的灵活应用,难度一般.1572【分析】对6个位置进行编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3或4，5排两名女生，则剩下位置的排法是固定的.【详解】第一步：两端排男生共，第二步：2，3或4，5排两名女生共，由乘法分步原理得：不同的排法种数是.【点睛】本题若没有注意2位相邻女生的顺序，易出现错误答案.16【分析】由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值.【详解】函数，且不等式有解，所以，即有解，只需，令，则，设则，即在内单调递增，而，所以存在使得，而当时单调递减，当时单调递增，所
15、以在处取得极小值，即为最小值.此时，设，恒成立，单调递增，即，又因为，即而，所以整数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.17（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意，可知的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据为实数，列出等量关系式，求得结果.【详解】（1）设，根据，所以有，所以的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，所以，其表示点到的距离，所以其最大值为圆心到的距离加半径，最小值为圆心到的距离减半径，所以最大值为，最小值为；（2），
16、因为为实数，所以，即，所以或，又因为，所以（舍去），所以或或.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.18(1)=8，;(2)见解析.【解析】试题分析：根据第4行和第7行的和可以归纳出前n项和的公式；根据前5行的规律得：由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，由此能求出第6行的数详解：(1)第四行的和为8,第7行的和为32,则归纳第n行的和为；(2)根据前5行的规律得：由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，第6行的数依次是：，故答案为，点睛：本题考查数列的第6行的数的求法，是基础题，解题时要注意归
17、纳总结规律这类题目和数列通项问题类似，常用方法：归纳推理求通项，根据相邻两项的关系找通项，根据前n项和与通项的关系解出通项公式.19(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，可求得二次函数的解析式（2）由（1）知，函数的解析式为 ，求出二次函数与（其中为常数）的交点，所以阴影部分面积要分两段积分，分0,1和1,2积分可求得面积试题解析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，则.（2）由（1）知，函数的解析式为 ，由，所以，因为，所以直线与的图象位于左侧的交点坐标为，由定积分的几何意义知： .20（1）男生有6人，女生有3人.（2）（
18、3）【分析】（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.【详解】解：（1）设男生有人，则，即，解之得，故男生有6人，女生有3人.（2）方法一：按坐座位的方法， 第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；故，一共有种重新站队方法.方法二：除序法第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序；故一共有
19、种站队方法，所以重新站队方法有（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种故一共有：种站队方法.【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.21（）见解析；（）见解析.【分析】（）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF长度，进而用表示出周长根据点E、F的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域（）利用三角函数换元，将周长转化为关于t的函数，结合角的范围求得t的范围，进而得到l的范围，即为费用最低时的长度【详解】（）在中，,在中，又，即.当点F在点D时，这时角最小，求得此时；点E
20、在C点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为（）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长l最小值即可.由（）得，设，则，由，得，从而，当，即BE25时，所以当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为元【点睛】本题考查了三角函数的化简求值及在实际问题中的简单应用，属于基础题22（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于等价于，结合（2）可得，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.【详解】解：（1），则，故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，（2）由（1）可得，易得，当时，函数单调递减，当时,，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：（3）等价于，由（2）可得（当且仅当时等号成立），所以，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为等号不同时成立，所以当时，.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用