1、第4讲 古典概型与几何概型 考纲要求考点分布考情风向标1.古典概型.(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.随机数与几何概型.(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义2011 年新课标卷考查古典概型；2013 年新课标卷考查古典概型；2014 年新课标卷考查古典概型；2014 年新课标卷查古典概型；2015 年新课标卷考查古典概型；2015 年福建卷考查几何概型与微积分相结合；2015 年湖北卷考查几何概型与微积分相结合1.解决古典概型概率问题的关键是明确事件的类型及其相互关系，以及针对不同类型的事件灵活
2、地选择相应的方法和公式，列举法、树状图法及列表法是解决古典概型概率问题的有效辅助手段，备考时要认真体会、把握和运用.2.新课标高考对几何概型的要求较低，以选择题或填空题为主.复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域(长度或面积)是解决几何概型问题的关键1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性_.相等3.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出模型即
3、为古典概型.如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率P(A)_.现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n.该概率mn4.几何概型长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.5.几何概型中，事件 A 的概率计算公式P(A)构成事件A的区域长度面积或体积区域的全部结果所构成的区域长度面积或体积.6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.注意：几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区
4、域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关；求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.(4,5)，共 10 种.P1.(2013 年新课标)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_.0.2解析：两数之和等于 5 有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，2100.2.2.(2013 年新课标)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的
5、概率是()BA.12B.13C.14D.16解析：从1,2,3,4 中任取2 个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12 种情形，而满足条件“2 个数之差的绝对值为 2”的只有 (1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共 4 种情形，所以取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率为 4 112 33.(2013 年福建)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_.解析：这是对几何概型的考查.事件“3a10”发生的概率可转化为长度之比
6、，则 a13在 01 中对应的长度为23，故概率为23.234.如图 9-4-1 的矩形，长为 5，宽为 2.在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为_.图 9-4-1235考点 1 古典概型 例 1：(1)(2015 年新课标)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：从 1,2,3,4,5 中任取3 个不同的数共有 10 种不同的取 法，其中的勾股数只有 3,
7、4,5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 110，故选 C.答案：C(2)(2014 年新课标)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为.解析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语；数1，语，数2；数2，数1，语；数2，语，数1；语，数2，数1；语，数1，数2共有6种，其中 2 本数 答案：23学书相邻的有 4 种，则其概率为：P4623.【规律方法】本题是考查古典概型，利用公式P(A).古mn典概型必须明确判断两点：对于每个随机试验来说，所有可 能出现的试验结果数 n 必须是有限个；出现的所有不同
8、的试 验结果数 m 其可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关键是列举做到不重不漏.【互动探究】1.(2014 年江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于()BA.118B.19C.16D.112解析：掷两颗均匀的骰子，点数的可能情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(
9、5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，此问题中含有 36 个等可能基本事件，点数之和为 5 的概率有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4 种，因此所求 概率为 43619.2.(2014 年湖北)随机投掷两枚均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率为 P1，点数之和大于 5 的概率为 P2，点数之和为偶数的概率为 P3，则()CA.P1P2P3B.P2P1P3C.P1P3P2D.P3P1P2解析：依题意，P11036，P2110362636，P31836，所以P1P3P2.故选 C.PBC 的面积不小于的概率是(考点 2 几何概型
10、 例 2：(1)在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点，则)A.23B.13C.34D.143S图 D62答案：A解析：取 AB 的三等分点 P，如图 D62，如果在线段 BP 上取点，PBC 的面积小于S3；如果在线段 AP 上取点，PBC 的面积不小于S3，所以所求概率为 pAPAB23.于的概率为(2)向面积为 S 的ABC 内任投一点，则PPBC 的面积小.解析：取 AB，AC 的中点 E，F，如图 D63，如果点 P 在线段 EF 上，PBC 的面积 EF 下方(即四边形EFCB 内)，PBC 的面积答案：34图 D632S等于S2；如果点 P 在线段 EF 上方(即AEF内
11、)，PBC 的面积大于S2；如果点 P 在线段小于S2.所以所求概率为 pEFCBABCSS四边形34.(3)如图 9-4-2，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱椎 A-A1BD 内的概率为.图 9-4-2答案：16解析：因为1A A BDV 1AABDV13SABDAA116S矩形 ABCDAA116V 长方体，故所求概率为1A A BDVV长方体16.(4)(2015 年湖北)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy12”的概率，p2 为事件“|xy|12”的概率，p3为事件“xy12”的概率，则()A.p1p2p3B.p
12、2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1解析：因为 x，y0,1，对事件“xy12”，如图 D64(1)阴影部分 S1，对事件“|xy|12”，如图 D64(2)阴影部分 S2，对于事件“xy12”，如图 D64(3)阴影部分 S3，由图知，阴影部分的面积从小到大依次是 S2S3S1，正方形的面积为 111，根据几何概型公式可得 p2p3p1.(1)(2)(3)图 D64答案：B【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是则考虑用几何概型；将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形，并加以度量；将几何概型转化为
13、长度、面积、体积之比，应用几何概型的概率公式求概率.【互动探究】3.(2014 年辽宁)若将一个质点随机投入如图 9-4-3 所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()图 9-4-3BA.2 B.4C.6D.8解析：质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 p1212124.考点 3 与线性规划有关的几何概型例 3：甲、乙两人约定上午9 时至12 时在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内若对方不来，则离去.如果他们两人在 9 时到 12 时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率.思维
14、点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面 直角坐标系内分别用x 轴、y 轴表示甲、乙到达约定地点的时间，用 0 时到3 时表示 9 时至12 时的时间段，则试验发生包含的条件是(x，y)|0 x3,0y3.(2)两人能会面的时间必须满足|xy|1.这就将问题化归为几何概型问题.解：设9 时后过了x 小时甲到达，9 时后过了y 小时乙到达，取点 Q(x，y)，则 0 x3,0y3.两人见到面的充要条件是|xy|AC|的概率为()A.13B.16C.2 32 D.34正解：如图9-4-5，取 ADAC，A30，此时ACD75，则BCD15.欲使|AM|AC|，CM必须在BCD内，其图
15、9-4-5概率为159016.答案：B(2)在直角三角形 ABC 中，A30，在斜边 AB 上任取一点 M，则使|AM|AC|的概率为()答案：CA.13B.16C.2 32 D.34正解：如图 9-4-5，ADAC，A30，欲使|AM|AC|，点 M 必须在线段 BD 内.设 BCx，则 AB2x，ADAC 3x，BD(2 3)x.所求概率为2 32.【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点 C 作射线CM 交线段 AB 于 M”与“在斜边 AB 上任取一点 M”，前者 CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者 M 为斜边AB上任一点，结果应该为斜边 AB 上的长度比.1.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.对于古典概型问题，处理基本事件的数量是关键，而对于几何概型中的概率问题转化为长度、面积或体积之比是关键.2.古典概型中的基本事件的数量容易计算出，如果能直接列出时，要注意书写时避免重复和遗漏，有时候也利用排列组合的相关知识来解决基本事件的数量.3.处理几何概型的难点一方面在于从题目中提取几何概型的模型，另一方面在于计算，这点有时候会与定积分结合起来考查.