1、课时作业(六十)第60讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式时间 / 30分钟分值 / 80分基础热身1.(10分)2017石家庄模拟 已知函数f(x)=|x+1|+|x-5|的最小值为m.(1)求m的值;(2)若a,b,c均为正实数,且a+b+c=m,求证:a2+b2+c212.2.(10分)2017衡水中学三模 已知实数a,b满足a2+b2-ab=3.(1)求a-b的取值范围;(2)若ab0,求证:1a2+1b2+344ab.能力提升3.(10分)2017巢湖模拟 已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若aM,试比较|a-1|+|a+1|,32a,
2、72-2a的大小.4.(10分)已知函数f(x)=|x+5|-|x-1|(xR).(1)解关于x的不等式f(x)x;(2)记函数f(x)的最大值为k,若lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.5.(10分)已知a,b为任意实数.(1)求证:a4+6a2b2+b44ab(a2+b2);(2)求函数f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-1)|的最小值.6.(10分)2017安阳二模 已知函数f(x)=2|x+1|-|x-1|.(1)求函数f(x)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积m;(2)在(1)的条件下,若(a,b)(ab)
3、是函数g(x)=mx图像上一点,求a2+b2a-b的取值范围.难点突破7.(10分)2017武汉二模 已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10.(1)求a+b+c的值;(2)求14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值,并求出此时a,b,c的值.8.(10分)2017昆明模拟 已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.(1)证明:|am+bn+cp|1;(2)若abc0,证明:m4a2+n4b2+p4c21.课时作业(六十)1. 解:(1)f(x)=|x+1|+|x-5|x+1-x+5|=6,m=6.(2)证
4、明:a2+b22ab,a2+c22ac,c2+b22cb,2(a2+b2+c2)2(ab+ac+bc), 3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,a+b+c=6,a2+b2+c212.2. 解:(1)因为a2+b2-ab=3,所以a2+b2=3+ab2|ab|.当ab0时,3+ab2ab,解得ab3,即0ab3;当ab0时,3+ab-2ab,解得 ab-1,即-1ab0.所以-1ab3,则03-ab4,而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab,所以0(a-b)24,即-2a-b2.(2)证明:由(1)知0ab3,因为1a
5、2+1b2+34-4ab=a2+b2a2b2-4ab+34=3+aba2b2-4ab+34=3a2b2-3ab+34=31a2b2-1ab+14=31ab-1220,当且仅当ab=2时取等号,所以1a2+1b2+344ab.3. 解:(1)f(x)=-3x,x12.根据函数f(x)的单调性可知,f(x)min=f12=32,所以函数f(x)的值域M=32,+.(2)因为aM,所以a32,所以00,4a-30,所以(a-1)(4a-3)2a0,所以32a72-2a,所以|a-1|+|a+1|32a72-2a.4. 解:(1)当x-5时,由-(x+5)+(x-1)x得-6x-5;当-5x1时,由(
6、x+5)+(x-1)x得-5x-4;当x1时,由(x+5)-(x-1)x得x6.因此f(x)x的解集为x|-6x-4或x6.(2)易知k=6,则由lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k)2ab=a+4b+62ab4ab+6ab-2ab-30(ab-3)(ab+1)0ab3ab9,所以ab的最小值为9.5. 解:(1)证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4,因为(a-b)40,所以a4+6a2b2+b44ab(a2+b2).(2)f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-
7、(2a3b+2ab3-1)|=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+|2x-2(2a3b+2ab3-1)|2x-2(2a3b+2ab3-1)-2x-a4+(1-6a2b2-b4)|=|(a-b)4+1|1,即f(x)min=1.6. 解:(1)f(x)=2|x+1|-|x-1|=x+3,x1,3x+1,-1xb,则a2+b2a-b=a-b+2aba-b=a-b+12a-b43,当且仅当a-b=12a-b时,取等号;若a0,b0,f(x)的最大值为a+b+c.又已知f(x)的最大值为10,a+b+c=10.(2)由(1)知a+b+c=10,由柯西不等式得14(a-1)2+(b-2)2+(c-
8、3)2(22+12+12)(a+b+c-6)2=16,即14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)283,当且仅当14(a-1)=b-2=c-3,即a=113,b=83,c=113时,等号成立.故14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值为83,此时a=113,b=83,c=113.8. 证明:(1)因为|am+bn+cp|am|+|bn|+|cp|,a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以|am|+|bn|+|cp|a2+m22+b2+n22+c2+p22=a2+b2+c2+m2+n2+p22=1,所以|am+bn+cp|1.(2)因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以m4a2+n4b2+p4c2=m4a2+n4b2+p4c2(a2+b2+c2)m2aa+n2bb+p2cc2=(m2+n2+p2)2=1,所以m4a2+n4b2+p4c21.