1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修1-2 第三章 推理与证明成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 推理与证明 第三章 第三章 推理与证明成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 章末归纳总结第三章 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 知 识 结 构 2误 区 警 示 3题 型 探 究 4自 主 演 练 5知 识 梳 理 1第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 知 识 梳 理第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1
2、-2 1归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明2演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 3合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据4综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法综合法常用于
3、由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想而反证法则是正难则反思想的体现另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 知 识 结 构第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 误 区 警 示第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大
4、版 数学 选修1-2 1进行类比推理时，可以从问题的外在结构特征，图形的性质或维数处理一类问题的方法事物的相似性质等入手进行类比要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想3推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 4注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据
5、5用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 6分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：，只需证，只需证，显然成立，所以成立第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 题 型 探 究第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 归纳
6、推理(2013新疆兵团农二师华山中学高二期末)在ABC 中，不等式1A1B1C9成立，在四边形中不等式1A1B1C1D162成立，在五边形中1A1B1C1D1E253成立，猜想在n 边形 A1A2An 中有不等式：_成立第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 解析 不等式的左边是 n 个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n2)，故在 n 边形 A1A2An 中有不等式 1A1 1A2 1A3 1Ann2n2成立答案 1A1 1A2 1A3 1Ann2n2第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 设函数 f(x)定
7、义如下表，数列xn满足 x05，且对任意的自然数 n 均有 xn1f(xn)，则 x2015()x12345f(x)41352A1 B2C4 D5答案 C第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 解析 x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，数列xn是周期为4的数列，所以x2015x34，故应选C第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 类比推理若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算，即 a*bab2，则两边均含有运算符号“*”和“”，且对于任意 3 个
8、实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是_.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 解析 由于本题是探索性开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一解决这道试题要把握住 a*bab2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“”，则可容易得到 a(b*c)(ab)*(ac)正确的结论还有：(a*b)c(a*c)(b*c)，(a*b)c(b*a)c 等答案 a(b*c)(ab)*(ac)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 已知命题：平面直角坐标系 xO
9、y 中，ABC 顶点 A(p，0)和 C(p,0)，顶点 B 在椭圆x2m2y2n21(mn0，p m2n2)上，椭圆的离心率是 e，则sinAsinCsinB1e，试将该命题类比到双曲线中，给出一个结论解析 平面直角坐标系 xOy 中，ABC 顶点 A(p,0)和C(p,0)，顶点 B 在双曲线x2m2y2n21(m0，n0，p m2n2)上，双曲线的离心率是 e，则|sinAsinC|sinB1e.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大分析法证明 设正方形和圆的周长都为 L，依据题意，
10、圆的面积为 L22，正方形的面积为L42.因此，只需证明 L22L42.为了证明上式成立，只需证明L24L216，两边同除以正数L24 得114.因此只需证明 4 即可因为 4 是成立的，所以 L22L42 成立，从而圆的面积大于正方形的面积第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 设 a、b、c 为一个三角形的三边，S12(abc)且 S22ab，证明 S2a.证明 要证 S2a，由于 S22ab，所以只需证 SS2b，即证 bS，因为 S12(abc)，所以只需证 2babc，即证 bac，由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命
11、题成立第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 如图所示，S为ABC所在平面外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC求证：ABBC分析 有面面垂直关系时，证明线线垂直，显然应考虑到用面面垂直的有关性质综合法第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 证明 作AESB于E 平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AE平面SBC，AEBC SA平面ABC，又BC平面ABC，SABC，又SAAEA，BC平面SAB ABBC第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 如图，四面体P
12、ABC中，ABC90，PAPBPC，D是AC的中点，求证：PD平面ABC第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 证明 连接BD，BD是RtABC斜边的中线，DADBDC又PAPBPC，而PD是PAD、PBD、PCD的公共边，PADPBDPCD于是PDAPDBPDC，PDAPDC90，PDB90.PDAC，PDBD又ACBDD，PD平面ABC第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 已知f(x)x2pxq.(1)求证：f(1)f(3)2f(2)2.反证法(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不
13、小于12.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设原命题不成立，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，这与|f(1)|2|f(2)|f(3)|AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上证明 假设点M在线段CD上，则BDBMCMCD，且AB2BD2AD2，AC2AD2CD2，所以AB2BD2AD2BM2 AD2CD2
14、AD2 AC2，即 AB2AC2，所 以 ABAC矛盾，故假设错误所以点M不在线段CD上第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 自 主 演 练第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 1(2013内蒙古鄂托克旗高级中学高二期中)请看下列推理过程，共有三个推理步骤abcd acbcbcbd acbdadbc其中错误步骤的个数有()A0 B1C2 D3答案 C解析 上述推理过程中，第一步、第三步是错误的，忽视了不等式性质成立的条件第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 2如果 f(
15、xy)f(x)f(y)，且 f(1)1，则f2f1f4f3f6f5f2 016f2 015等于()A1 008 B1 009C2 016 D2 018答案 A第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 解析 由于 f(xy)f(x)f(y)，f(1)1，f(2)f(11)f2(1)，f2f11，f(4)f(31)f(3)f(1)，f4f31.f(2 016)f(2 0151)f(2 015)f(1)，f2 016f2 0151.f2f1f4f3f2 016f2 0151 008.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2
16、答案 coscos2cos(2n1)sin2n2nsin3 已 知 等 式 coscos2 sin44sin，coscos2cos4 sin88sin，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是：_.解析 该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理得出一般规律，写出结果即可第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 4如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为，则cos2cos21，则在长方体ABCDA1B1C1D1中，可写出类似的命题：_第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-2 答案 长方体ABCDA1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB、BB1、BC所成的角分别为、，则cos2cos2cos21或sin2sin2sin22(或：长方体ABCDA1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD、ABB1A1、BCC1B1所成的角分别为、，则cos2cos2cos22或sin2sin2sin21)