1、天津市实验中学2020届高三数学上学期第二次阶段考试试题（含解析）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过解一元二次不等式求得集合、，再求得，利用交集的定义求【详解】，或，故选：【点睛】本题考查了集合的补集、交集运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题2. 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，而由函
2、数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，又，解得，所以，故选C考点：等比数列的通项公式及性质4. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设向量与的夹角为，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可.【详解】解：设向量与的夹角为，不妨设，则，.故选：A.【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂
3、直，考查了学生的运算能力，属于中档题.5. 若，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6. 的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：为中点，又的外接圆的圆心为，所以，因为，所以，因此向量在向量方向上的投影为，选D.考点：向量投影【方法
4、点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7. 已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将整理为，根据方程可知或；根据整体所处的范围，可知有四个根需，解不等式求得取值范围.【详解】令，则 或 在上有四个实数根 解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数的取值范围的问题，关键是能够根据图象的特点，确
5、定有四个实数根时角所处的范围，从而构造出不等关系求得结果.8. 设，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于不是函数的零点，则，令，将零点个数问题转化为函数与函数的交点个数问题，结合图象，即可得出实数的取值范围.【详解】很明显不是函数的零点令函数，则则令则函数的图象与在内有个交点函数的图象如图所示：由图可得：.故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上.9. i是虚数单位,计算 的结果为 【答案】-i【解析】【详解】.考点：本题主要考查复
6、数的乘除运算.10. 已知，若，三点在同一直线上，则_.【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的性质列方程即可得出【详解】，、三点共线，解得故答案为：【点睛】本题考查了向量共线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11. 设数列是公差为1的等差数列，其前n项和为，且55 则的值为_【答案】【解析】所以 12. 已知，是与等比中项，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13
7、. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内14. 如图，在等腰梯形中，是的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点，若，其中，则的取值范围是_.【答案】，【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、，利用辅助角公式化简，再利用正弦函数性质可求得结论【详解】建立平面直
8、角坐标系如图所示，则，；设，由，由解得，时，故答案为：，【点睛】本题考查了平面向量知识应用以及求解运算能力，正确利用坐标系是解题的关键平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是几何运算，二是利用坐标运算，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用三、解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.将解题过程及答案填写在答题纸上.15. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值
9、，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会设A
10、为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【详解】（1）由已知有，所以事件的发生的概率为；（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；所以随机变量的分布列为：012数学期望为.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分
11、布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题17. 在四棱锥中，平面，是的中点，在线段上，且满足.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【详解】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设其存
12、在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.详解：（1）证明：取的中点，的中点，连接和，且，分别为，的中点.且且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（1）由题意可得，两两互相垂直，如果，以为原点，分别是，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，令又，平面 平面（2）设点坐标为则，由得，设平面的法向量为，由得即令则又由图可知，该二面角为锐角故二面角的余弦值为（3）设， 与平面所成角的余弦值是其正弦值为，整理得：，解得：，（舍）存在满足条件的点，且点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时
13、候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.18. 已知数列的前项和是，且.数列是公差不等于的等差数列，且满足：，成等比数列.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用题中的条件，类比着写出，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列是等比数列，再令求得首项，利用等比数列的通项公式求得结果，对于，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果，第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法-错位相减法.详解：（1）时，时，（）是以为首项，为公
14、比的等比数列，又得：，因为解得，（2）点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有项.19. 已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率为时，求弦长的值；（3）设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个顶点为，可得，利用离心率求得和关系进而求得，则椭圆的方程可得；（2
15、）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去可得则，利用弦长公式可得结果（3）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式可得，即可求得的取值范围；【详解】（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，椭圆的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆的标准方程为；（2）由得，设，设直线的方程为，代入椭圆方程，消去可得则，（3）由是线段（为坐标原点）上一个动点可得，直线的方程，代入椭圆方程，消去可得则，,，解得：，当时，故的范围为【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直的性质，属于难题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,解决直线与椭圆的位置关系的相关问题
16、，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.20. 已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围.（3）当时，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果；（2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果；（3）先利用导数证明即，只需证明对任意的恒成立即可，再构造函数，两次求导，利用单调性可得结果.【详解】（
17、1）由得，因为函数在处的切线方程为，曲线在点处的切线斜率为，解得；（2）函数，因为函数在区间上存在单调增区间，所以在区间上有解，即在区间上有解，因为在区间上递增，所以，可得故；（3），函数递减，因为，所以即，只需 对任意的恒成立即可，令，当时，因此，对任意等价于，由，因此，当时，单调递增，时，单调递减，的最大值为，故，设，时，单调递增，故时，即，故，因此对任意的恒成立，【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.