1、正、余弦定理的应用 喀什二中主讲人：黄玉红 必修五第一章解三角形知识回顾:1.正弦定理，2bcacbcosA222，2cabaccosB222。2abcbacosC2223.在初中判断三角形的形状的依据的什么?即三角形分类的标准,按边或按角判断.2.余弦定理 a=b+c-2bccosA b=c+a-2accosB c=a+b-2abcosC 222222222C A B a c b 正余弦定理及其应用)(2sinsinsin外接圆的半径表示 ABCRRCcBbAa本节主要环节:正余弦定理及其应用二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化 三、注意三角形中的隐含条件 一、解三角形 C A B a
2、c b 正余弦定理及其应用一、解斜三角形的类型：（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：（3）已知两边及其夹角，用余弦定理，必有唯一解；（2）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；由正弦定理 求出 ，再由 ，得出的值有0、1或2个，只要满足 的B都是符合题意的，再由（1）的方法可完整求解；由余弦定理 求出c，得到的 正数c（有0、1或2个）都是符合题意的，再由（2）的方法可完整求解。sinBbsinAasinAabsinB B0 BAAbccbacos2222一、解三角形 C A B a c b 正余弦定理及其应用一、解三
3、角形 例1：在 中，a,b,c分别是角A，B，C 的对边长。若 解三角形。ABC,45B2,b,3a。226，c15，C120（2）A；226，c75，C60（1）A用正弦定理）：所以本题有两解（,180BA因为这两个A均满足或12060A,23sinA,sin452sinA3由正弦定理得:破解1再。理变式），下同破解1题有两解（再用余弦定个c均为正数，所以本这两,226c0,1c6-得c2cacosB,-ac由余弦定理b:破解22222正余弦定理及其应用 例2：（2011重庆）若ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，它们满足 ，则ab的值为（）。A、B、C、1 D、343483260
4、4)(22Ccba且二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化 A例3：在ABC中，已知acosA=bcosB，判断三角形的形状。又 02A、2B所以,此三角形为等腰三角形或直角三角形。解法一:由得BbAasinsina=2RsinA，b=2RsinB，将此式 代入acosA=bcosB 得（2RsinA）cosA=（2RsinB）cosBsinAcosA=cosBsinB,sin2A=sin2B,所以 2A=2B或2A=-2B A=B或A+B=2解法二：由余弦定理的逆定理得:acosA=bcosBacbcabbcacba2)(2)(222222直角三角形是等腰三角形或或或ABCbacbabac
5、babacbabcbaca2222222222222422422000)(0正余弦定理及其应用已知：在三角形ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8,求角B。分析：只需要判断最大边所对的角即可。正余弦定理及其应用还有别的解法吗？正余弦定理及其应用三、注意三角形中的隐含条件 例4：（2011全国新课标）在ABC中，B=，AC=，则AB+2BC的最大值为 。6032sinA.BC2sinC,所以AB2,sin603sinBACsinABCsinCAB正弦定理知解：在ABC中，由。72BC的最大值为2所以AB),120(0C,23其中tan),sin(C72cosC324sinCsinC)
6、21cosC234(2sinCC)4sin(1202sinC4sinA2sinC2BC所以AB,120C又A2.应用正弦定理、余弦定理不仅可以解斜三角形，还可以将条件统一为边的关系或角的关系。1.正余弦定理的变式：正弦定理沟通了边与所对角的正弦的关系，余弦定理沟通了边与角的余弦的关系。a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2RsinCc2R，sinBb2R，sinAa2Rc，sinC2Rb，sinB2RasinA总结提高，2bcacbcosA222，2cabaccosB222。2abcbacosC222作业设计2、在ABC中，已知,判断三角形的形状。BAbatantan223、在ABC 中（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC,判断三角形的形状。1、在ABC中，已知：，解三角形。15,22,2Cba