1、1.3 简单的逻辑联结词 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.会判断由“且”“或”“非”构成的含有逻辑联结词的命题的真假.1.“且”“或”“非”的含义(1)且：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_，读作“p_q”.(2)或：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_，读作“p_q”.(3)非：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_，读作“_”或“p的_”.pq 且 pq 或 p 非p 否定 2.含有联结词“且”“或”“非”的命题真假判断(1)当p，q都是真命题时，pq是_；当p，q两个命题中 _命题是
2、假命题时，pq是_命题.(2)当p，q两个命题中_命题是真命题时，pq是_命 题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是_.(3)若p是真命题，则p必是_；若p是_，则p 必是_.真命题 有一个 假 有一个 真 假命题 假命题 假命题 真命题 1.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是()A.pq B.pq C.p D.以上都不对【解析】选B.命题p为真命题，命题q是假命题，所以“pq”为真，“pq”为假，p为假.2.命题“非空集合AB中的元素既是A中的元素也是B中的元素”是_形式.(填“pq”“pq”“p”中的一种)【解析】xAB，则xA且xB，填pq.答案：pq
3、3.“m3”是_形式.(填“pq”“pq”“p”中的一种)【解析】“m3”的含义是“m3或m=3”，填pq.答案：pq 4.命题“矩形的对角线不相等”是_形式.(填“pq”“pq”“p”中的一种)【解析】“矩形的对角线不相等”是对“矩形的对角线相等”的全盘否定，填p.答案：p 一、“且”“或”“非”的含义 探究：观察下面的五个命题，结合逻辑联结词的含义，思考以下问题：(1)6是2的倍数.(2)6是3的倍数.(3)6是2的倍数且是3的倍数.(4)6是2的倍数或是3的倍数.(5)6不是2的倍数.(1)上面的命题(3)(4)与命题(1)(2)之间有什么关系？提示：可以看出，命题(3)是由命题(1)(
4、2)使用联结词“且”联结得到的新命题；命题(4)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题.(2)命题(5)与命题(1)有什么关系？如何理解逻辑联结词“非”？提示：命题(5)是由命题(1)使用联结词“非”联结得到的新命题.逻辑联结词“非”(也称“否定”)是从日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的，“非”是否定的意思.【探究总结】从集合的角度理解“且”“或”“非”(1)“且”：从集合角度看，可设A=xx满足命题p，B=xx满足命题q，则“pq”对应于集合中的交集AB=xxA且xB.(2)“或”：从集合的角度看，可设A=xx满足命题p，B=xx满足命题q，则“pq”对应
5、于集合中的并集AB=xxA或xB.(3)“非”：从集合的角度看，若设P=xx满足命题p，则“p”对应于集合P在全集U中的补集 P=xxU，且xP，p与“p”的真假关系：真假对立.U【拓展延伸】逻辑联结词“且”“或”“非”与生活中一些用语的关系(1)“且”：“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既，又”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.(2)“或”：逻辑联结词中的“或”与日常用语中的“或”的含义存在区别，日常生活用语中的“p或q”包含两层含义：要么是p，要么是q，两者中只能选择一个，而不能两者全选，但逻辑联结词中“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p
6、和q，即两者中至少要有一个.(3)“非”：“非”作为逻辑联结词的意义就是日常生活用语中的“否定”，而且是“全盘否定”.二、含有逻辑联结词的命题的真假 探究1：观察下图，结合命题的真假判断，思考以下问题：(1)若p与q的内容毫无关系，则由逻辑联结词联结后的命题的真假可以判断吗？提示：真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的含有逻辑联结词的命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例如：p表示“圆周率是无理数”，q表示“ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断命题pq的真假.(2)判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是判断什么？提示：关键是判断每个简单命
7、题的真假，进而才能判断由逻辑联结词构成的命题的真假.探究2：根据含有逻辑联结词的命题的真假，完成下列填空：(1)命题“p且q”是真命题，则命题p一定是_命题.(2)命题“p或q”是假命题，则命题p一定是_命题.(3)命题“p”是假命题，“p且q”是真命题，则命题q一定是_命题.答案：(1)真(2)假(3)真【探究总结】含有逻辑联结词的命题真假的三个关注点(1)真假规律：pq：一真必真，都假才假；pq：一假必假，都真才真.(2)p：p与p是互为否定的，从而有(p)=p，p真p假，p假p真.(3)含有逻辑联结词的命题的否定：pq的否定为(p)(q)；pq的否定为(p)(q)，其真假也可以参照含有逻
8、辑联结词的命题的真假进行判断.类型一 写出已知命题的构成形式 1.下列命题：末位不是0的数不能被5整除；指数函数是单调函数；每一个向量都既有大小，又有方向；正方形是菱形或是矩形.其中含有逻辑联结词的命题有()A.B.C.D.2.已知命题p：方程2x2-x+3=0的两根都是实数，q：方程2x2-x+3=0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题.2 62 6【解题指南】1.观察是否含有逻辑联结词或具有相同含义的词汇.2.本题关键是正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，应根据组成上述各含有逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义，确定含有逻
9、辑联结词的命题的形式.【自主解答】1.选A.是简单命题，其余的均为含有逻辑联结 词的命题.2.“p或q”的形式：方程2x2-x+3=0的两根都是实数或不 相等.“p且q”的形式：方程2x2-x+3=0的两根都是实数且不相 等.“非p”的形式：方程2x2-x+3=0的两根至多一个实数.2 62 62 6【规律总结】写含逻辑联结词的命题结构形式的三个关注点(1)简单命题与含“或”“且”“非”的新命题：不含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题是简单命题，命题“pq”“pq”“p”是含有逻辑联结词的命题，其中p，q为简单命题.(2)区别“若p则q”：在“pq”“pq”“p”中，p，q都是命题，但在“若p
10、，则q”中，p，q可以是命题，也可以是含有变量的陈述句.(3)把握实质：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义进行正确的命题构成的判定.【变式训练】命题“不超过3”看作非p的形式，则p为_，看作是“p或q”的形式，p为_，q为_(用符号表示).【解析】“不超过”用“”表示，其否定是“”，“”可以看作是“3 1，q：2=1.类型二 判断含逻辑联结词的命题的真假 1.(2014武汉高二检测)设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为 ；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是()A.p为
11、真 B.q为假 C.pq为假 D.pq为真 222.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的含有逻辑联结词的命题的真假：(1)p：2+2=5；q：32.(2)p：9是质数；q：8是12的约数.(3)p：函数y=cosx是周期函数；q：函数y=cosx是偶函数.(4)p：0；q：=0.【解题指南】1.先判断p，q的真假，再判断命题“pq”“pq”“q”的真假.2.本题中命题p，q都很明确，且其真假都很容易判断.解答步骤：(1)写出含有逻辑联结词的命题的构成形式“p且q”“p或q”“非p”.(2)判断其中简单命题p，q的真假.(3)判断有逻辑联结词的命题的真假.【自主解答】1
12、.选C.由函数y=sin2x的最小正周期为可知命题p是假命题；由函数y=cosx的图象关于直线x=k，kZ对称可知命题q是假命题，可知答案选C.2.(1)p或q：2+2=5或32；p且q：2+2=5且32；非p：2+25.因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.(2)p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.(3)p或q：函数y=cosx是周期函数或是偶函数；p且q：函数y=cosx是周期函数且是偶函数；非p：函数y=cosx不是周期函数.因为p真q真，所以“p或
13、q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.(4)p或q：0或=0；p且q：0且=0；非p：0.因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.【规律总结】判断命题“pq”“pq”“p”真假的步骤(1)确定命题构成：首先确定命题是“pq”，还是“pq”，还是“p”形式的命题.(2)判断简单命题：对命题p和q(不含逻辑联结词的命题)的真假作出判断.(3)判断含有逻辑联结词的命题真假：对于“pq”形式的命题，可记为“有真必真”；对于“pq”形式的命题，可记为“一假必假”；对于“p”形式的命题，可记为“真假相反”.再由“pq”“pq”“p”的真假判断方法给出结论.提醒：记忆口诀：“同为真
14、时且为真，同为假时或为假，出现假时且为假，出现真时或为真”.【拓展延伸】含有逻辑联结词的命题在电学上的理解(1)“pq”：从电学来讲，“pq”相当于两个开关串联时，电路形成闭路的情形，且从该电路闭合与断开可得p，q与“pq”的真假关系：全真才真，即p与q全为真时，“pq”才真，其他情况为假.(2)“pq”：从电学来讲，“pq”相当于两个开关并联时，电路形成闭路的情形，该电路的闭合与断开也反映了p，q与“pq”的真假关系：全假才假，即p与q全为假时，“pq”才假，其他情况为真.(3)“p”：从电学来讲，“p”相当于一个开关时，电路形成闭路的情形，该电路闭合与断开可得p与p的真假关系：真假相反，即
15、p为真时，p为假；p为假时，p为真.【变式训练】(2014湖南高考)已知命题p：若xy，则-xy，则x2y2.在命题 pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是()A.B.C.D.【解题指南】先判断p，q的真假，再利用“或、且、非”的真假判断求解.【解析】选C.由不等式的性质，得p真，q假.由“或、且、非”的真假判断得到假，真，真，假.【加固训练】命题p：将函数y=sin2x的图象向右平移 个单位得到函数y=sin(2x-)的图象；命题q：函数y=sin(x+)cos(-x)的最小正周期是，则含有逻辑联结词的命题“pq”“pq”“p”为真命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【
16、解析】选C.由于p假q真，所以“pq”真，“pq”假，“p”真.3336类型三 含有逻辑联结词的命题的应用 1.已知命题p：x2+2ax+10恒成立，命题q：aZ，若“pq”是真命题，则实数a的值可能是()A.-1 B.1 C.1 D.0 2.已知p：y=log(3+2m)x在(0，+)上是增函数，q：方程x2+(m-2)x+1=0的两个根属于(0，3)，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围.【解题指南】1.由题目所给的条件，思路如下：(1)要先确定p真和q真时a的取值范围.(2)再由pq为真命题，判断p和q必然都真.(3)最后求得结论.2.由pq与pq的真假判定p，q的真假，然后求出
17、实数m的取值范围.【自主解答】1.选D.因为“pq”是真命题，所以p真q真，由p：x2+2ax+10恒成立可得-1a1，所以m-1.因为f(x)=x2+(m-2)x+1=0的两个根在0至3之间.所以 所以 所以 m0.2m240m2032f 00f 30，m0m44m21 04m3或，43因为：p且q为假，p或q为真，所以有p为真q为假；p为假q为真两种情况：当p为真q为假时，m的取值范围是：m0，当p为假q为真时，m的范围是：m-1.综上得m的取值范围是：m-1或m0.4343【延伸探究】若把题2中的条件“p或q为真”删掉，结论又如何？【解题指南】由条件“p且q为假”可得到三种情况.(1)p
18、真q假.(2)p假q真.(3)p假q假.【解析】前两种情况的解法同题2的解法，当p假时，m-1；当q假时，m0或m ，所以当p假q假时，m ，综上m的取值范围是m-1或m0.4343【规律总结】命题“pq”“pq”“p”的真假应用的规律(1)由命题“pq”“pq”“p”的真假推出p和q真假，其结论如下：若“pq”为真，则p和q均为真；若“pq”为假，则p和q至少有一个为假；若“pq”为真，则p和q至少有一个为真；若“pq”为假，则p和q都为假；命题p和命题p真假相反.(2)由p和q的真假转化为相应的数学问题，再结合正确的逻辑推理方法求得结论.【变式训练】已知a0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2-ax+10对xR恒成立.若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围.【解析】命题p：a1.要使不等式ax2-ax+10对xR恒成立，只需 0a4，所以命题q：0a4.由题意知p和q中一真一假.当p真，q假时，a4.当p假，q真时，0a1.综上0a1或a4.2a0a4a0 ，a 1a4，0a10a4，