1、第6讲 简单的三角恒等变换 考纲要求考点分布考情风向标1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)2013年新课标卷考查辅助角公式及求最大值；2014年新课标卷考查三角恒等变换对广东的试题而言，2008、2009、2010、2011、2012、2013、2014连续七年关于三角函数的解答题都是考查三角变换及求值这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，客观题要注意诱导公式、同角关系式及齐次式的应用，解答题要注意三角变换与图象性质的
2、整合、三角变换与解斜三角形的整合等1转化思想转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降常用的升次公式有：1sin2(sincos)2；1sin2(sincos)2；1cos22cos2；1cos22sin2.2三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简(2)三角函数式的求值(3)三角函数式的证明3求三角函数最值的常用方法(1)配方法(2)化为一个角的三角函数(3)数形结合法(4)换元法(5)基本不等式法1(2013 年上海)若 cosxcosysinxsiny13，则 cos(2x2y)_.解析：cos(xy
3、)cosxcosysinxsiny13，则 cos(2x2y)2cos2(xy)129179.79sin2xcos2x 的最小正周期为2(2014 年山东)函数 y_.3sin17cos47sin73cos43_.4(2013 年上海)函数 y4sinx3cosx 的最大值是_.32解析：y 32 sin2xcos2x 32 sin2x1cos2x2sin2x612，其周期为 T22.125解析：y4sinx3cosx 4232sin(x)5sin(x)，其中 tan34，则最大值是 5.考点 1 三角函数式的求值问题例 1：已知 04，04，且 3sinsin(2)，4tan21tan22，
4、求 的值思维点拨：由2的关系可求出 的正切值再依据已知角 和 2 构造，从而可求出 的一个三角函数值，再据 的范围，从而确定 的值由 3sin()sin()，得3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin.2sin()cos4cos()sin.解：由 4tan21tan22，得tan2tan21tan2212.【规律方法】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向tan()2tan.tan()1.又04，04，02.4.【互动探究】1化简：1sin2xcos2x1sin2xcos2x.解：原式12sinxc
5、osxcos2xsin2x12sinxcosxcos2xsin2x2sin2x2sinxcosx2cos2x2sinxcosx2sinxsinxcosx2cosxsinxcosxtanx.2已知 sinxcosx12，求 sin3xcos3x 的值解：由 sinxcosx12，得(sinxcosx)214，即 12sinxcosx14.sinxcosx38.sin3x cos3x (sinx cosx)(sin2x sinxcosx cos2x)12138 1116.考点 2 三角恒等式的证明思维点拨：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角变换中
6、经常使用的方法例 2：求证：sinsinsin2cos21tan2tan2.证法一：左边sincoscossinsincoscossinsin2cos2sin2cos2cos2sin2sin2cos21cos2sin2sin2cos21tan2tan2右边原式成立证法二：右边1cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin2sin2cos2sincoscossinsincoscossinsin2cos2sinsinsin2cos2左边原式成立【互动探究】3求证：sinsinsin2sin2cos()证法一：右边sin2cossinsinsincoscossinsinsinsin
7、sinsin左边证法二：sin2sinsinsinsin2sinsin2cossinsin2cos()，sin2sin2cos()sinsin.考点 3 三角变换与最值例 3：(2014 年天津)已知函数 f(x)cosxsinx3 3cos2x 34，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间4，4 上的最大值和最小值解：(1)由已知，有f(x)cosx12sinx 32 cosx 3cos2x 3412sinxcosx 32 cos2x 3414sin2x 34(1cos2x)3414sin2x 34 cos2x12sin2x3，所以 f(x)的最小正周期 T22.(
8、2)因 为 f(x)在 区 间 4，12 上 是 减 函 数，在 区 间 12，4 上是增函数，f4 14，f 12 12，f4 14，所以函数 f(x)在区间4，4 上的最大值为14，最小值为12.【规律方法】求函数 fxcosxsin3x 3cos2x 34的最值，首先利用三角变换将函数 fx化简为 fxAsinxB 的形式，然后结合函数图象利用单调性求最值.本题最容易出现的错误就是直接将4，4 代入求值.【互动探究】4(2013 年新课标)设当 x时，函数 f(x)sinx2cosx取得最大值，则 cos_.解析：f(x)sinx2cosx 515sinx 25cosx，设 15cos，
9、25sin，则 f(x)5(sinxcoscosxsin)5sin(x)xR，xR，f(x)max 5.又x 时，f(x)取得最大值，f()sin2cos 5.又 sin2cos21，sin 15，cos 25，即 cos2 55.答案：2 555(2012 年大纲)当函数 ysinxcosx(0 x2)取最大值时，x_.3解析：由 ysinx 3cosx2sinx3，由 0 x2 3x353 可知22sinx3 2，当且仅当 x332 即x116 时取得最小值，当 x32，即 x56 时，取得最大值56易错、易混、易漏利用三角函数的有界性求解_【失误与防范】解决这类问题往往用换元法，但容易忽
10、略 换元后新元 t 的取值范围，从而导致错解例题：函数 f(x)sin2x2 2cos4x 3 的值域为正解：原函数可化为 f(x)sin2x2(cosxsinx)3，设cosxsinxt，t 2，2，则 sin2x1t2，f(x)t22t4(t1)25.当 t1 时，f(x)max5.当 t 2时，f(x)min22 2.答案：22 2，51化简要求：(1)能求值的要求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数2将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法最常用的代换就是三角代换形如条件x2y21，通常设 xcos，ysin.在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等3在进行三角函数的变换与求值时，要注意整体代换的灵活运用，不要一味追求将和差公式展开，如已知 tan4 3求 tan 时，方法一是 tan4 tan4tan1tan4tan3 再求解；方法二是 tantan44 1tan41tan4再求解