1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修2 第一章 立体几何初步成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 立体几何初步 第一章 第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 6 垂直关系第一章 6.2 垂直关系的性质第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课前自主预习第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 飞机是一种现代化的交通
2、工具，但不知同学们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直安定面第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性当飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时，此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到原来的飞行姿态今天我们就来学习这种互相垂直的平面之间的知识.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 1.直线与平面垂直的性质定理(1)定理内容：如果两条直线同_于
3、一个平面，那么这两条直线平行(2)符号表示：若a，b，则ab.(3)图形表示：(4)简记为：线面垂直线线平行垂直第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 拓展：直线与平面垂直的性质还有：一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；垂直于同一直线的两个平面平行第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 2平面与平面垂直的性质定理(1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_于它们交线的直线_于另一个平面(2)符号表示：若，b，a，ab，则 a.(
4、3)图形表示：(4)简记为：面面垂直线面垂直垂直垂直第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 拓展：平面与平面垂直还有如下性质：两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内也就是说：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 1.下列说法正确的是()A垂直于同一条直线的两条直线平行B垂直于同一条直线的两条直线垂直C垂直于同一个平面的两条直线平行D垂直于同一条直线的直线和平面平行答案 C解析 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线
5、，可能平行，相交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于同一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或直线和平面平行，所以选项D错第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 2(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m.()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lm答案 A解析 选项 A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当 时，l，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中，l 时，可以相交；选项 D 中，时，l，m 也可以异面故选 A.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指
6、导 北师大版 数学 必修2 3下面说法正确的是()A若 m，l，则 mlB若 l，则 lC若 mn，n，则 mD若 ml，mn，则 ln答案 B解析 对于 A，当 mA 时，m 不平行于 l，所以 A错，对于 B 易证成立对于 C，m 可以在 内故 C 错对于D，l 和 n 还可能是相交直线或是异面直线故 D 错从而选B.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 4已知直线m，n和平面，满足mn，m，则n与的关系是_答案 n 或 n 解析 若 n，则满足题意若 n，则 n 显然是成立的第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2
7、5在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1上一动点，则OP与AE的关系是_答案 垂直解析 设AD的中点为F，则OP在AE所在平面ADD1A1内的射影为A1F.又A1FAE，A1B1AE，AE面A1B1OF.OPAE.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课堂典例讲练第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 已知a，b是异面直线，c，a，b，直线la，lb，求证：lc.思路分析 可尝试把两条异面直线转化为相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直规范解答 如图，在a上取一点A
8、，过点A作直线b.线面垂直性质的应用第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 b，bb(直线与平面垂直的性质定理)lb，bb，lb.la，l 垂直于由 a 与 b确定的平面.a，c，ac，同理 bc.bb，cb，又 abA，a 与 b确定的平面为，c.又 l，lc(直线与平面垂直的性质定理)第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 规律总结 1.线面垂直的性质定理本质上揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了一种证明线线平行的方法2证明线线平行的常用方法是：(1)平行线的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定理；(4
9、)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理在实际证明时，要根据题意灵活选用第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 本例若改为：l，E 是，外一点，EA 于 A，EB 于点 B，a，aAB.求证：al.证明 EA，EAl，EB，EBl，又 EAEBE，l面 EAB.同理可证：a面 EAB.al.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 面面垂直性质定理的应用如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AFBE，AFEF，AFEF12BE.求证：EA平面 ABCD.第一章 6 6.2 成才之路 高
10、中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 思路分析 解答本题的关键是证明 EAAB，为此应该在平面四边形 ABEF 中，利用 AFBE，AFEF，AFEF12BE等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明规范解答 设 AFEFa，则 BE2a.过 A 作 AMBE 于 M.AFBE，AMAF.又AFEF，AMEF，四边形 AMEF 是正方形AMa，EMMBa，第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 AEAB 2a，AE2AB2EB2，AEAB.又平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，AE 平面 ABEF，EA平
11、面 ABCD.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 规律总结 1.由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的重要思想方法，也为我们提供了作平面垂线的一种方法2应用面面垂直的性质定理要注意的两个问题：(1)应用面面垂直的性质定理时，四个条件缺一不可：“，l，a，al.”(2)应用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 如图所示，P是四边形AB
12、CD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.分析 解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 证明(1)连接 PG，BD，由题知PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，PGAD.又平面 PAD平面 ABCD，PG平面 ABCD，PGBG.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 又四边形 ABCD 是菱形且DAB60，ABD 是正三角形，
13、BGAD.又 ADPGG，BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BGAD，PGAD，PGBGG，AD平面 PBG，ADPB.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 性质的综合应用如图所示，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2 2，M 为 BC 的中点求证：AMPM.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 规范解答 如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE、EM、EA.PCD 为正三角形，PECD，PE 3.平面 PCD平面 ABCD，PE平面 ABCD.又 AM 平面 ABCD，P
14、EAM.四边形 ABCD 是矩形，第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 ADE、ECM、ABM 均为直角三角形由勾股定理，可求得 EM 3，AM 6，AE3，EM2AM2AE2，AMEM.又 PEEME，AM平面 PME.AMPM.规律总结 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 如图所示，平面平面，在与的交线上取线段AB4cm，AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且AC3cm，B
15、D12cm，求CD的长分析 利用已知三角形中的长度关系求解注意ACB，BCD都是Rt.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 解析 连接 BC.因为 BDAB，直线 AB 是两个互相垂直的平面 和 的交线，所以 BD，BDBC.所以CBD 是直角三角形在 RtBAC 中，BC 32425，在 RtCBD 中，CD 5212213.所以 CD 的长为 13cm.说明 本题综合运用了面面垂直的性质以及直角三角形中的勾股定理要求 CD 的长，关键要构造三角形，将 CD 转化到三角形中去求解另外，本题也可以通过连接 AD 求解第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程
16、 学习指导 北师大版 数学 必修2 易错疑难辨析第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 如图所示，已知 S 为ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC.求证：ABBC.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 错 解 SA 平 面 ABC，且 平 面 SAB 平 面 SBC，BCSB，BC平面SAB.又AB在平面SAB内，ABBC.辨析 错解没有理解面面垂直的定理，误认为两个平面垂直，则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，显然不正确知道面面垂直，要证线线垂直，可将证线线垂直转化为线面垂直由已知面面垂直，则可在一个平面内作两个平面的交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 正解 过点 A 作 AESB，垂足为 E，平面 SAB 垂直于平面 SBC 且交于 SB，AE平面 SBC，BCAE.由已知 SA平面 ABC，SABC，BC平面 SAB，BCAB.第一章 6 6.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课时作业（点此链接）
