1、第三节变量间的相关关系、统计案例课标要求考情分析1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程3了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用4了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1.以选择题、填空题的形式考查求线性回归系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关2在解答题中与频率分布结合考查线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用. 知识点一 两个变量的线性相关1正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相
2、关2负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关3线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线知识点二回归方程1最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法2回归方程方程x是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数知识点三回归分析1定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法2样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(
3、xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心3相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强r的绝对值越接近于0，表明两量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性知识点四独立性检验1分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量2列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量
4、K2，其中nabcd为样本容量3独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系()(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值()(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x()之间的关系，得线性回归方程2.352x147.767，则气温为2时，一定可卖出143杯热饮()(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大()2小题热身(1)观察下列各图形，其中
5、两个变量x，y具有相关关系的图是(C)A BC D(2)两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(D)A BC D(3)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(A)Ar2r40r3r1 Br4r20r1r3Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r3(4)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：使用年数x/年12345维修总费用y/万元0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程x0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足
6、1年按1年计算)(D)A8年 B9年C10年 D11年(5)在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是.若K2的观测值为k6.635，我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1%的可能性使得出的判断出现错误解析：(1)由散点图知具有相关关系(2)第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域
7、，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是.(3)由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2r40r3r；x、y之间不能建立线性回归方程【解析】(1)所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1.故选D.(2)显然正确；由散点图知，用yc1ec2x拟合的效果比用x拟合的效果要好，故正确；x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故不正确【答案】(1)D(2)方法技巧1已知变量x和y近似满足关系式y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是(C)Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相
8、关，x与z正相关解析：由y0.1x1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关2甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(D)A甲B乙 C丙D丁解析：在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上
9、可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性考点二回归分析【例2】下图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的折线图注：年份代码17分别表示对应年份20122018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r(|r|0.75线性相关较强)加以说明；(2)建立y与t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.【解】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得4，(ti)22
10、8, 0.55，(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得0.10，1.3310.1040.93.所以y关于t的回归方程为0.930.10t.将2019年对应的t8代入回归方程得0.920.1081.72.所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量约1.72万吨方法技巧1某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x()1813101用电量y(千瓦时)24343864由表
11、中数据得线性回归方程x中2，预测当温度为5 时，用电量约为(D)A64千瓦时 B66千瓦时C68千瓦时 D70千瓦时解析：由已知得10，40，将其代入回归方程得40210，解得60，故回归方程为2x60，当x5时，70.故选D.2二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43zlny3.002.482.081.861.481.10下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手
12、车当使用年数为9年时售价约为多少；(、小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年参考公式：，r.参考数据：iyi187.4，izi47.64，139，4.18, 13.96，1.53，ln1.460.38，ln0.711 80.34.解：(1)由题意，知(234567)4.5，(32.482.081.861.481.10)2，又izi47.64, 4.18，1.53，r0.99，z与x的相关系数大约为0.99，说明z与x的线性相关程度很高(2)0.36，20.364.53
13、.62，z与x的线性回归方程是0.36x3.62，又zlny，y关于x的回归方程是e0.36x3.62.令x9，得e0.3693.62e0.38，ln1.460.38，1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元(3)当0.711 8，即e0.36x3.620.711 8eln 0.711 8e0.34时，则有0.36x3.620.34，解得x11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年考点三独立性检验【例3】目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将
14、全面建立起新的高考制度新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(2)将22列联表填写完整，并通过计算判断能否有99.9%的把握认为选历
15、史与性别有关？选历史不选历史总计选考方案确定的男生选考方案确定的女生总计(3)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量，求的分布列及数学期望E()附：K2，nabcd.P(K2k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【解】(1)由题意可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定先考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生约有840392(人)(2)22列联表填写完整为选历史不选历史总计选考方案确定的男生41216选考方案确定的女生16420总计201636由22列联表可得，
16、K210.8910.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关(3)由题表中数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治由已知得的取值为0,1.P(1)，P(0)1P(1)(或P(0)，所以的分布列为01P所以E()01.方法技巧独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22列联表(2)计算随机变量K2的观测值k，查下表确定临界值k0：(3)如果kk0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2k0)的前提下不能推断“X与Y有关
17、”有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如表所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(C)A列联表中c的值为30，b的值为35B列联表中c的值为15，b的值为50C根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，能认为“成绩与班级有关系”D根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”解析：由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c20，b45，选项A，B错误根据列联表中的数据，得到K2的观测值k6.1093.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”