1、函数、导数及其应用第四节 指数函数【高考目标定位】一、考纲点击1了解指数函数模型的实际背景；2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图象与性质的综合应用同时考查分类讨论思想和数形结合思想；2幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题。【考纲知识梳理】1根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数
2、的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根（2）两个重要公式；。2有理数指数幂（1）幂的有关概念正整数指数幂:;零指数幂:;负整数指数幂:正分数指数幂:;负分数指数幂: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a0,r、sQ);(ar)s=ars(a0,r、sQ);(ab)r=arbs(a0,b0,rQ);.3指数函数的图象与性质 y=axa10a0时，y1;x0时,0y0时，0y1;x1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（
3、-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点、难点精析】一、指数幂的化简与求值1相关链接指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则化负指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序。注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求若题目以根式形式给出，则结果用根式表示
4、；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2例题解析例1（1）计算：；（2）化简：分析：（1）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。（2）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。解：（1）原式=；（2）原式=例2已知，求的值解：，又，二、指数函数的图象及应用1相关链接（1）图象的变换1平移变换规律(1)水平平移：y=f(x+ )的图象，可由y=f(x)的图象向左( 0), 或向右( 0)的图象，可由yf(x)的图象上每点的
5、横坐标伸长(00, 0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=Af(x+ ) (A0, 0)也成立。（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；图象在y轴上的身影可得出函数的值域；从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；由两个图象交战的横坐标可得方程的解。2例题解析例已知函数y=()|x+1|。（1） 作出图象；（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的
6、形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是： 另一部分是：图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质1、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=af(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤求复合函数的定义域；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；分层逐一求解函数的单调性；求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。2、例题
7、解析例1(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解 （1） 因为是R上的奇函数，所以从而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于 因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即 整理得，因底数21，故 上式对一切均成立，从而判别式例2如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0且a1)在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由
8、题意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t0).当a1时，t= ax在上为增函数，则此时t1,而对于f(t)而言，对称轴t=2,故f(x)在上不可能为增函数；当0a1时，t=ax在上为减函数，此时0t0又0 0即在上为减函数。 8分（）因是奇函数，从而不等式： 等价于，.10分因为减函数，由上式推得：即对一切有：， .12分从而判别式 .14分【感悟高考真题】1（2009四川卷文）函数的反函数是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，又因原函数的值域是，其反函数是2(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两
9、个零点，则实数a的取值范围是 .【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是答案: 3（2010辽宁文数）（10）设，且，则（A） （B）10 （C）20 （D）100解析：选A.又4.（2010广东理数）3若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则Af（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为
10、奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数解析：3D【考点精题精练】一、选择题1化简的结果为（B）A5 B C D52将化为分数指数幂的形式为（A）A B C D3下列等式一定成立的是（D）A=a B=0C（a3）2=a9 D4下列命题中，正确命题的个数为（B）=a若aR，则（a2a+1）0=1 A0 B1 C2 D35若a2x=1，则等于（A）A21 B22C2+1 D+16使代数式（|x|1）有意义的x的取值范围为（D）A|x|1 B1x1 Dx17如果函数y=ax（a0，a1）的图象与函数y=bx（b0，b1）的图象关于y轴对称，则有 （C）Aab Ba2x当a1时，任取xR都有axaxy=（）x是增函数 y=2|x|的最小值为1在同一坐标系中，y=2x与y=2x的图象对称于y轴A BC D10下列函数中，值域是（0，+）的共有 （）y= y=（）xy= y=3A1个 B2个 C3个 D4个11已知函数f（x）=a1x（a0，a1），当x1时恒有f（x）0又0故对任何aR，f（x）为增函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m