1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修2 第一章 立体几何初步成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 立体几何初步 第一章 第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 2 直观图第一章 第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课前自主预习第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 “一口叙说千古事，双手对舞百万兵”的皮影戏，是深受群众喜爱的一种民间艺术，它最
2、早流传于鲁南、苏北、浙江、河北一带，后来逐渐扩散到全国各地皮影戏的表演是借助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象，将纸偶或皮偶影射出来，配合音乐、唱白来表演戏剧故事学好本节内容你就会真正明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人”的原理第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 1.斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy_，它们确定的平面表示_(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_的线段；(3)已 知 图 形 中 平 行 于 x 轴 的 线 段，在 直 观 图 中_；平行于y轴的
3、线段，长度为_45或135水平平面平行于x轴和y轴保持原长度不变原来的12第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 2立体图形的特点立体图形与平面图形相比多一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z轴的线段，在直观图中_都不变3画直观图的原理用斜二测画法画的直观图是根据_的原理画出的图形，图中的投影线互相_平行性和长度平行投影平行第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 1.关于直观图画法的说法中，不正确的是()A原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，其长度不变B原图中平行于
4、y轴的线段，其对应线段平行于y轴，其长度不变C画与坐标系xOy对应的坐标系xOy时，xOy可等于45D作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同答案 B解析 由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y轴，长度为原来的一半第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 2如图所示，直观图表示的平面图形是()A任意三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形答案 C解析 由图形AB与BC分别平行于y轴与x轴，故直观图表示的平面图形是直角三角形第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 3.下列说法正确的是()A水平放置的正方形的直观图可能是梯形
5、B两条相交直线的直观图可能是平行直线C互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D平行四边形的直观图仍是平行四边形答案 D解析 选项A错，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂直的两条直线的直观图夹角为45；选项D正确第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 4根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的Ox、Oy、Oz，使xOy_，xOz_；在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段_答案 45(或135)90 平行且相等解析 根据斜二测画法的规则第一章 2
6、成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 5水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，以AB、AD为轴作 出 斜 二 测 直 观 图 ABCD，则 四 边 形 ABCD 的 面 积 为_答案 2 2解析 如图所示，AB4，AD1，且DAB45，所以该四边形的高为 22.所以该四边形的面积为 S4 22 2 2.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课堂典例讲练第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 画水平放置的直角梯形的直观图思路分析 由斜二测画法画直观图规范解答(1)如图所示，在已知直角梯形OBCD中以底边OB所在直线为x轴
7、，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系；如图(1)所示，另选一个平面画直观图，画x轴和y轴，使xOy45.平面图形的直观图第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (2)在 x轴上取 OBOB，在 y轴上取 OD12OD，过 D作 x轴的平行线 l，在 l 上取点 C使得 DCDC，连接 BC，如图(2)所示第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (3)擦去辅助线，得到直角梯形的直观图 OBCD，如图(3)所示(3)规律总结 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上
8、，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 如图所示，ABC中BC8cm，BC边上的高AD6cm，试用斜二测画法画出其直观图解析(1)在三角形ABC中建立如图所示的直角坐标系xOy，再建立如图所示的直角坐标系xOy，使xOy45.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (2)在坐标系 xOy中，在x轴上截取 OBOB，OCOC；在 y轴上截取 OA，使OA12OA.(3)连 接 AB，BC，CA，得到ABC，即为ABC 的直观图.第一章 2 成才之路 高中新
9、课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 空间图形的直观图画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)思路分析 解答本题时可先画出上、下底面正三角形的直观图，再画出整个正三棱台的直观图规范解答(1)画轴，以底面ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使xOy45，以上底面ABC的中心O与O的连线为z轴第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (2)画出底面，在 xOy 平面上画ABC 的直观图，在 y 轴上量取 OC 33 cm，OD 36 cm.过 D 作 ABx 轴，AB2 cm，且以 D 为中点，
10、连接 AC，BC，则ABC 为下底面三角形的直观图第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (3)画上底面，在 z 轴上截取 OO2 cm，过 O作 x轴x 轴，y轴y 轴，在 y轴上量取 OC 36 cm，OD 312 cm，过 D作 ABx轴，AB1 cm，且以 D为中点，则ABC为上底面三角形的直观图(4)连线成图，连接 AA，BB，CC，并擦去辅助线，则三棱台 ABCABC即为所要画的三棱台的直观图第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 规律总结 1.用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题
11、只要确定了正三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了2若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCDABCD的直观图解析 画法：(1)画轴如图所示，画 x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，且使xOy45，xOz90.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (2)画底面以点 O为中点，在 x轴上取线段 MN，使MN4cm；在 y轴上取线段 PQ，使 PQ32cm.分别过点 M 与N 作
12、 y轴的平行线，分别过点 P 和点 Q 作 x轴的平行线，设它们的交点分别为 A，B，C，D.四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.(3)画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2cm 长的线段 AA，BB，CC，DD.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 (4)成图顺次连接 A，B，C，D并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 由直观图还原平面图一个四边形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形
13、的面积思路分析 由直观图确定原来的图形的形状及数量关系，关键要把握“横坐标不变，纵坐标减半”的原理，逆推即可规范解答 如图是四边形的直观图，取BC所在直线为x轴，因为ABC45，所以取BA所在直线为y轴，过D作DEAB，DE交BC于E，则BEAD1.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形，所以 EC 2，所以 BC1 2.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 再建立一个直角坐标系 xBy，如图所示，在 x 轴上截取线段 BCBC1 2，在 y 轴上截取线段 BA2BA2，过 A 作 AD
14、BC，截取 ADAD1，连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 ABCD的实际图形，四边形ABCD 为直角梯形，上底 AD1，下底 BC1 2，高 AB2，所以 S梯形 ABCD12AB(ADBC)122(11 2)22.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 规律总结 1.由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段还原时长度不变，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算2一般地，若一个平面多
15、边形的面积为 S，其直观图的面积为 S，则有 S 24 S 或 S2 2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 水平放置的ABC的直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_答案 2.5解析 由于在直观图中，ACB45，则在原图形中，ACB90，AC3，BC4，斜边AB5，故斜边AB上的中线长为2.5.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 易错疑难辨析第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 已知ABC 的平面直观图AB
16、C是边长为 a 的正三角形，那么原三角形 ABC 的面积为()A.32 a2 B 154 a2C.62 a2D 6a2错解 B 原三角形 ABC 的边中平行于 x 轴的长度不变仍为 a.另两条边的长应伸长为原来的 2 倍，即 2a.由等腰三角形的边的关系知，底边上的高应为2a2a22 152 a.故ABC 的面积 S12 152 aa 154 a2.故选 B.第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 辨析 还原图形的过程，是画直观图的逆过程，它主要包括平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的2倍本题中变为2a的两条边并不和y轴平行因而将其变为2a是错误
17、的正解 C 如图(1)为三角形的直观图，图(2)为实际图形取BC所在直线为x轴，过BC中点O与Ox成45的直线为y轴过A点作ANOx，交y轴于N点，过A点作AMOy，交x轴于M点在直角三角形AOM中，第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 因为 OA 32 a，AMO45，所以 MOAN 32 a，故 AM 62 a.在直角坐标系 xOy 中，在 x轴上方 y 轴左侧取到 x 轴距离为 6a，到 y 轴距离为 32 a 的点 A，第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 在 x 轴上取两点 B，C，使点 O 为线段 BC 的中点，且 BCBC，则ABC 为所求显然 SABC12a 6a 62 a2.故正确答案为 C.规律总结 无论是画平面图形直观图，还是空间图形直观图，还是由直观图复原真实图，都必须严格按照斜二测画法第一章 2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 课时作业（点此链接）