1、第三章三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数 考纲要求考点分布考情风向标1.了解任意角的概念2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2011年新课标卷考查三角函数定义及二倍角公式；2014年新课标卷考查三角函数符号判断；2014年大纲卷考查三角函数的定义从近几年的高考试题看，三角函数定义及符号判定是高考的热点这部分的高考试题大多为教材例题，习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对教材知识的学习1任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是按_方向旋转形
2、成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为零角顺时针2终边相同的角终边与角相同的角，可写成 S|k360,kZ3弧度制(1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零角的弧度数的绝对值|_(其中 l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径)(4)弧度与角度的换算：180 rad；lr1 180 rad0.017 45 rad；1 rad180 57.305718.4弧长公式和扇形面积公式(1)在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l|r；S12lr.(2)在角度制下，弧长
3、公式和扇形面积公式分别为 lnr180；S_.nr23605任意角的三角函数的定义设是一个任意角，角的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离是 r(r0)，那么比值yr叫做 的正弦，记作 sin，即 sinyr；比值xr叫做 的余弦，记作 cos，即 cosxr；比值yx叫做 的正切，记作 tan，即 tan_.yx6三角函数值在各象限的符号)C1下列各命题正确的是(A终边相同的角一定相等B第一象限角都是锐角C锐角都是第一象限角D小于 90 度的角都是锐角2若 sin0，则是()CA第一象限角C第三象限角B第二象限角D第四象限角3sin870_.4若角的终边在直线 xy0 上，(0,2)
4、，则 _.3126或76考点 1 角的概念 例 1：(1)写出与1840终边相同的角的集合 M；(2)把1840的角写成 k360(0360)的形式；(3)若角M，且360，360，求角.解：(1)M|k3601840，kZ(2)18406360320.(3)由(1)(2)，得 M|k360320，kZM，且360360，360k360320360.kZ，k1，或 k0.故40或320.【规律方法】在0到360范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行.因为任意一个角均可写 成k3601(01360)的形式，所以与角终边相同的角的集合也可写成|k3601，kZ.如本题 M|k
5、360+320，kZ.由此确定360，360范围内的角时，只需令 k1 和 0 即可.680k36040，179 k19.【互动探究】1给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()DA1 个B2 个C3 个D4 个解析：90750，180225270，36090475360180，360315270.这四个命题都是正确的考点 2 三角函数的概念例 2：已知角终边经过点 P(3t,4t)，t0，求角的正弦、余弦和正切解：由 x3t，y4t，得 r(3t)2(4t)25|t|.当 t0 时，r5t.因此 sin45，cos35，
6、tan43.当 t0 时，r5t.因此 sin45，cos35，tan43.【规律方法】任意角的三角函数值，只与角的终边位置有关，而与角的终边上点的位置无关当角的终边上的点的坐标 以参数形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论 的思想，将t 分为t0 和t0 两种情况，这是解决本题的关键【互动探究】2(2014 年大纲)已知角的终边经过点(4,3)，则 cos()DA45 B35 C35 D45解析：由题意，可知：x4，y3，r5.所以 cosxr45.故选 D.考点 3 三角函数的符号解：是第二象限角，90k360180k360(kZ)(1)1802k36023602k360(k
7、Z)，故 2是第三或第四象限角，或 2的终边在 y 轴的非正半轴上例 3：若 是第二象限角，试分别确定 2，2，3的终边所在位置(2)45k180290k180(kZ)，当 k2n(nZ)时，45n360290n360(nZ)；当 k2n1(nZ)时，225n3602270n360 (nZ)2是第一或第三象限角(3)30k120360k120(kZ)，当 k3n(nZ)时，30n360360n360(nZ)；当 k3n1(nZ)时，150n3603180n360 (nZ)；当 k3n2(nZ)时，270n3603300n360 (nZ)3是第一或第二或第四象限角【规律方法】已知 所在象限，求n
8、(n2，nN)所在象限：(1)由 所在象限，确定n所在象限的方法由 的范围，求出n的范围；通过分类讨论把角写成 k360的形式，然后判断n所在象限(2)由 所在象限，确定2所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限二等分，得 8 个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，(如图311)；图311 确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为 所求(3)由所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；3 标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，(如图312)：图312 确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即
9、为所求【互动探究】3下列各式中，计算结果为正数的是()Atan188sin275 Btan100cos301Csin76 cos35 tan54 Dsin65 tan116cos23解析：选项 A，tan1880，sin2750，tan188sin2750.选项 B，tan1000，cos3010，tan100cos3100.选项 C，sin76 0，cos35 0，sin76 cos35 tan54 0.选项 D，sin65 0，tan116 0，cos23 0，r0，即42r0，r0.解得 0r0)由 S12lr，得 l2Sr 8r.扇形周长 C2rl2r8r2 2r8r8，当且仅当 2r
10、8r，即 r2 时，等号成立，即周长 C 有最小值 8.此时 l8r4，lr422 rad.即当 2 rad 时，扇形周长 C 最小，且最小值为 8.【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形的面积公式 S12 rl，其中 l 表示扇形的弧长.(2)扇形的周长为定值，扇形的面积 Sr22r，利用二次函数求最值；扇形的面积为定值，扇形的周长 C2r8r，利用基本不等式求最值.1任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点 P 的位置无关若角已经给出，则无论点 P 选择在角终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r 一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦另外已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况3注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角4角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用例如 2k30(kZ)，k360(kZ)都是不准确的32