1、A级基础巩固1.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2 B.4 C.6 D.12解析:因为(a+2b)(a-3b)=-72,所以|a|2-ab-6|b|2=-72.因为ab=|a|4cos 60=2|a|,所以|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.答案:C2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|=()A.7 B.10 C.13 D.4解析:因为|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6ab=1+9+6|a|b|cos 60=13,所以|a+3b|=13.答案:C3.已知|a|=|b|=1,a与b的
2、夹角是90,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:因为c与d垂直,所以cd=0,所以(2a+3b)(ka-4b)=0,所以2ka2-8ab+3kab-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.答案:B4.在ABC中,若|AB|=3,|BC|=8,ABC=60,则|AC|=7.解析:因为AC=BC-BA,所以|AC|2=(BC-BA)2=|BC|2+|BA|2-2BCBA=82+32-283cos 60=49,所以|AC|=7.5.已知|a|=1,ab=12,(a-b)(a+b)=12.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|.解:(1
3、)因为(a-b)(a+b)=a2-b2=12,|a|=1,所以b2=a2-12=1-12=12,所以|b|=22.所以cos =ab|a|b|=12122=22.因为0,所以=4,故a与b的夹角为4.(2)|a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=102.B级能力提升6.如图所示,在ABCD中,若AB=1,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则EFFG+GHHE=()A.32 B.-32 C.34 D.-34解析:易知四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接HF,取HF的中点O,则EFFG=EFEH=(EO-OH)(EO+OH)=EO2-OH2=1-(12)2
4、=34,GHHE=GHGF=(GO+OH)(GO-OH)=GO2-OH2=1-(12)2=34,因此EFFG+GHHE=32.答案:A7.已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=12.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=233.解析:令e1与e2的夹角为,所以e1e2=|e1|e2|cos =cos =12.因为0180,所以=60.因为b(e1-e2)=0,be1=1,所以b与e1,e2的夹角均为30,所以be1=|b|e1|cos 30=1,从而|b|=1cos30=233.8.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b的方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角;(2)求(a-
5、2b)b;(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?解:(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.因为a在b方向上的投影为|a|cos =-1,所以ab=|a|b|cos =-1,所以cos =-12.因为0,所以=23.(2)(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b与a-3b互相垂直,所以(a+b)(a-3b)=a2-3ab+ba-3b2=4+3-1-3=7-4=0,所以=47.C级挑战创新9.多选题对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)
6、=a2-b2解析:根据ab=|a|b|cos ,且cos 1,知|ab|a|b|,选项A不恒成立;当向量a和b方向不相同时,|a-b|a|-|b|,选项B不恒成立;根据|a+b|2=a2+2ab+b2=(a+b)2,选项C恒成立;根据向量的运算性质得(a+b)(a-b)=a2-b2,选项D恒成立.答案:CD10.多空题若非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=12,则|b|=22.若ab=12时,则向量a与b的夹角的值为45.解析:因为(a-b)(a+b)=12,所以a2-b2=12,所以|b|2=|a|2-12=1-12=12,所以|b|=22(负值舍去).因为cos =ab|a|b|=22,且0180,所以=45.