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广东省深圳市南头中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试调研试题(含解析).doc

1、广东省深圳市南头中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试调研试题(含解析)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1设集合Ax|2x4,B2,3,4,5,则(RA)B()A2B4,5C3,4D2,32已知z2+i,则()A6+2iB42iC62iD4+2i3已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A3BC6D4下列区间中,函数单调递增的区间是()ABCD5古代将圆台称为“圆亭”,九章算术中“今有圆亭,下周三丈,上周二丈,高一丈,问积几何?”即一圆台形建筑物,下底周长3丈,上底周长2丈,高1丈,则它的体积为()A立方丈B立方丈C立方丈D立方丈6已知二次函

2、数yx22ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是()Aa2或a3B2a3Ca3或a2D3a27如图所示,在平面四边形ABCD中,ADCD,ACBC,B60o,现将ACD沿AC边折起,并连接BD,当三棱锥DABC的体积最大时,其外接球的表面积为()A4B8C12D168ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+b2ccosB,若CD是角C的平分线,AD,DB,求CD的长()A3B2CD二、选择题:本题共4小题。每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9已知角,满足+,则下列结论正确的是(

3、)Asin(+)sinBcos(+)cosCD10一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,把它与地面接触的面上的数字记为X,则X1,2,3,4,5,6,7,8,定义事件:AX|X1,2,3,4,事件:BX|X1,5,6,7,事件:CX|X1,5,6,8,则下列判断正确的是()AP(A+B)1BCP(ABC)P(A)P(B)P(C)DA,B,C两两相互独立11已知ABC是边长为1的等边三角形,点D是边AC上,且3,点E是BC边上任意一点(包含B,C点),则的取值可能是()ABC0D12已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1),AB3,DC1,BAD45,DEAB将ADE沿

4、DE折起,使得AEEB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点下列结论中正确的是()ABCADB点E到平面AMC的距离为CEM平面ACDD四面体ABCE的外接球表面积为5三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数,则a 14平面内非零向量,有|3,|4,0且|2,则|的最大值为 15已知函数f(x)x+1,g(x)2|x+2|+a若对任意x13,4,存在x23,1,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,点D,E分别是PB,BC的中点,PA3,PDDE2,PE2,AE,则球O的表面积为

5、 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知复数(i是虚数单位)()求复数z的模长;()若z2+az+b1+i(a,bR),求a,b的值18如图,在ABC中,AB2,AC3,BAC60,(1)求CD的长;(2)求的值19为了解某市家庭用电量的情况,该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位:kWh),并将得到的数据按如下方式分为9组:0,40),40,80),320,360绘制得到如图的频率分布直方图:(1)试估计抽查样本中用电量在160,200)的用户数量;(2)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯电

6、价,使75%的居民缴费在第一档,20%的居民缴费在第二档,其余5%的居民缴费在第三档,试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围(计算百分位数时,结果四舍五入取整数;范围用左开右闭区间表示);(3)为了解用户的具体用电需求,统计部门决定在样本中月均用电量为0,40)和320,360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访,求走访对象来自不同分组的概率20在下列两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答函数的图象关于原点对称;函数yf(x)的图象关于直线对称已知函数,f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为,_(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)f(x)cos2x在上的取值范围21如图,在

7、半圆柱W中,AB为上底面直径,DC为下底面直径,AD为母线,ABAD2,点F在上,点G在上,BFDG1,P为DC的中点(1)求三棱锥ADGP的体积;(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值;(3)求二面角AGCD的正切值22已知函数f(x)log2(x1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)设g(x)f(x)+a,若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点,求实数a的取值范围;(3)设,是否存在正实数m,使得函数yh(x)在3,9内的最小值为4?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1设集合Ax|2x4,B2,3,4,5,则(RA)B(

8、)A2B4,5C3,4D2,3解:Ax|2x4,RAx|x2或x4,B2,3,4,5,(RA)B4,5,故选:B2已知z2+i,则()A6+2iB42iC62iD4+2i解:z2+i,(2+i)(22i)44i+2i+262i,故选:C3已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A3BC6D解:设圆锥的母线长为l,由底面半径为r,侧面展开图为一个半圆,所以2rl,所以该圆锥的母线长为l2r2故选:B4下列区间中,函数单调递增的区间是()ABCD解:对于函数,令2kx+2k+,求得2kx2k+,可得函数的单调递增的区间是2k,2k+,kZ,故排除A、B、C,由于(,2)

9、是2k,2k+,kZ的一个子集,故函数在(,2)上单调递增,故选:D5古代将圆台称为“圆亭”,九章算术中“今有圆亭,下周三丈,上周二丈,高一丈,问积几何?”即一圆台形建筑物,下底周长3丈,上底周长2丈,高1丈,则它的体积为()A立方丈B立方丈C立方丈D立方丈解:设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则2r2,2R3,得r,R又圆台的高为1,圆台的体积V立方丈故选:B6已知二次函数yx22ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是()Aa2或a3B2a3Ca3或a2D3a2解:由于二次函数yx22ax+1的对称轴为xa,若yx22ax+1在区间(2,3)内是单调增函数,则有a2

10、若yx22ax+1在区间(2,3)内是单调减函数,则有a3故选:A7如图所示,在平面四边形ABCD中,ADCD,ACBC,B60o,现将ACD沿AC边折起,并连接BD,当三棱锥DABC的体积最大时,其外接球的表面积为()A4B8C12D16解:由题意,当平面ACD平面ABC时,三棱锥的高最大,此时体积最大,ADCD,ACD的高为,D是投影在AC的中点平面ACD平面ABC,三棱锥的高为,AC2,BC2,AB4又ACBC,B60o,平面ABC外接圆半径r2,设球心O到圆心O的距离为d,可得R2r2+d2R2由解得R2外接球的表面积S4R216;故选:D8ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c

11、,已知2a+b2ccosB,若CD是角C的平分线,AD,DB,求CD的长()A3B2CD解:由余弦定理知cosB,2a+b2ccosB,2a+b2c,即a2+b2c2ab,由余弦定理知,cosC,C(0,),C由角分线定理知2,设BCx,则AC2x,在ABC中,由余弦定理知,AB2AC2+BC22ACBCcosACB,(3)24x2+x222xx(),解得x3,aBC3,bAC6,cosB,在BCD中,由余弦定理知,CD2BD2+BC22BDBCcosB7+9234,CD2故选:B二、选择题:本题共4小题。每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选

12、对的得2分,有选错的得0分。9已知角,满足+,则下列结论正确的是()Asin(+)sinBcos(+)cosCD解:由于角,满足+,+,sin(+)sin()sin,故A正确;+,即 +,cos(+)cos()cos,故B错误;,sinsincos,故C错误;由于+,即( +)( ),coscossin,故D正确,故选:AD10一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,把它与地面接触的面上的数字记为X,则X1,2,3,4,5,6,7,8,定义事件:AX|X1,2,3,4,事件:BX|X1,5,6,7,事件:CX|X1,5,6,8,则下列判断正确的是()AP(A+B)1B

13、CP(ABC)P(A)P(B)P(C)DA,B,C两两相互独立解:由题意,P(A),同理P(B)P(C),对于A,P(A+B),故选项A错误;对于B,故选项B正确;对于C,又P(A)P(B)P(C),所以P(ABC)P(A)P(B)P(C),故选项C正确;对于D,所以A,B,C不是两两相互独立,故选项D错误故选:BC11已知ABC是边长为1的等边三角形,点D是边AC上,且3,点E是BC边上任意一点(包含B,C点),则的取值可能是()ABC0D解:如图,点E是BC边上任意一点(包含B,C点),可设+(1),其中01,+(1)()+(1)()2+(1)+1(1),01,的取值范围是:,故选:AB1

14、2已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1),AB3,DC1,BAD45,DEAB将ADE沿DE折起,使得AEEB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点下列结论中正确的是()ABCADB点E到平面AMC的距离为CEM平面ACDD四面体ABCE的外接球表面积为5解:在图1中,过C作CFEB,DEEB,四边形CDEF是矩形,CD1,EF1四边形ABCD是等腰梯形,AB3,AEBF1BAD45,DECF1连接CE,则CECB,EB2,BC2+EC2BE2,得BCE90,则BCCE在图2中,AEEB,AEED,EBEDE,AE平面BCDEBC平面BCDE,AEBCAECEE,BC平面AEC若BCAD

15、,又BCAE,AEADA,BC平面AED,过一点E与BC垂直的平面有两个,与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾,故A错误;由AE1,EC,得AC,又BC,而,设点E到平面AMC的距离为h,由VABCEVEABC,得,即h,故B正确;假设EM平面ACD,EBCD,CD平面ACD,EB平面ACD,EB平面ACD,又EBEME,平面AEB平面ACD,而A平面AEB,A平面ACD,与平面AEB平面ACD矛盾假设不成立,故EM与平面ACD不平行,故C错误;连接MC,AEB为Rt,ACB为Rt,且M为AB的中点,MAMBMEMC,即M为四面体ABCE的外接球的球心,四面体ABCE的外接球的半径为,则

16、四面体ABCE的外接球表面积为,故D正确故选:BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数,则a1解:函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数,yx3为R上的奇函数,故ya2x2x也为R上的奇函数,所以y|x0a2020a10,所以a1故答案为:114平面内非零向量,有|3,|4,0且|2,则|的最大值为7解:平面内非零向量,有|3,|4,0故可建立如图所示的坐标系,则A(3,0),B(0,4),设C(x,y),因为|2,(x3)2+(y4)24,即表示以D(3,4)为圆心,2为半径的圆上的点,因为OD5,故|的最大值为:5+27,故答案为:

17、715已知函数f(x)x+1,g(x)2|x+2|+a若对任意x13,4,存在x23,1,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是 (,3解:若对任意x13,4,存在x23,1,使f(x1)g(x2),可得f(x)ming(x)min,由f(x)x+1在3,4递增,可得f(x)的最小值为f(1)4,g(x)2|x+2|+a在3,2上递减,在2,1递增,可得g(x)的最小值为g(2)1+a,所以41+a,解得a3即a的取值范围是(,3故答案为:(,316已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,点D,E分别是PB,BC的中点,PA3,PDDE2,PE2,AE,则球O的表面积为 41解:由P

18、A3,PD2,PE2,AD,AE,得PA2+PD2AD2,PA2+PE2AE2,可得PAPB,PAPE,又PBPEP,PA平面PBC,D,E分别是PB,BC的中点,且PDDE2,PC4,PB4,又PE,BC2BE4,有PB2+PC2BC2,得PBPC,将三棱锥放在长方体中,外接球的直径等于长方体的对角线,设外接球的半径为R,则(2R)232+42+4241,外接球的表面积S4R241故答案为:41四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知复数(i是虚数单位)()求复数z的模长;()若z2+az+b1+i(a,bR),求a,b的值解:()1i,|z|,(

19、)z2+az+b1+i,(1i)2+a(1i)+b1+i,(a+b)(a+2)i1+i,18如图,在ABC中,AB2,AC3,BAC60,(1)求CD的长;(2)求的值解:(1),即CD的长为;(2),19为了解某市家庭用电量的情况,该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位:kWh),并将得到的数据按如下方式分为9组:0,40),40,80),320,360绘制得到如图的频率分布直方图:(1)试估计抽查样本中用电量在160,200)的用户数量;(2)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯电价,使75%的居民缴费在第一档,20%的居民缴费在第二档

20、,其余5%的居民缴费在第三档,试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围(计算百分位数时,结果四舍五入取整数;范围用左开右闭区间表示);(3)为了解用户的具体用电需求,统计部门决定在样本中月均用电量为0,40)和320,360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访,求走访对象来自不同分组的概率解:(1)由频率分布直方图得:样本落在0,40),40,80),80,120),120,160)的频率为0.02,0.15,0.27,0.23,落在200,240),240,280),280,320),320,360)的频率分别为0.09,0.06,0.04,0.01,样本落在160,200)的频率为:1(0

21、.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01)0.13,样本中用电量在160,200)的用户数为2000.1326(2)为了使75%的居民缴费在第一档,需要确定月均用电量的75%分位数,0.02+0.15+0.27+0.230.67,0.02+0.15+0.27+0.23+0.130.875%的分位数必位于160,200)内,160+401850.02+0.15+0.27+0.23+0.13+0.09+0.060.95,95%分位数为280第二档的范围可确定为(185,280(3)由题可知,样本中用电量在0,40的用户有4户,设编号分别为1,2,3,4,在320

22、,360的用户有2户,设编号为a,b,则从6户中任取2户的样本空间为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15个样本,设事件A“走访对象来自不同分组”,则A(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),n(A)8,走访对象来自不同分组的概率p20在下列两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答函数的图象关于原点对称;函数yf(x)的图象关于直线对称已知函数,f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为,_(

23、1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)f(x)cos2x在上的取值范围解:(1)补充函数的图象关于原点对称,f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为,即T,f(x)4sin(2x+),又函数的图象关于原点对称,即,又,f(x)的图象解析式为补充函数yf(x)的图象关于直线对称,f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为,即T,f(x)4sin(2x+),函数yf(x)的图象关于直线对称,又,f(x)的图象解析式为(2)g(x)f(x)cos2x,即03,函数g(x)f(x)cos2x在上的值域为0,321如图,在半圆柱W中,AB为上底面直径,DC为下底面直径,AD为母线,ABAD2,点F在上,

24、点G在上,BFDG1,P为DC的中点(1)求三棱锥ADGP的体积;(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值;(3)求二面角AGCD的正切值解:(1)由题意知,DPG为正三角形,DPDGPG1,所以,因为AD为圆柱的母线,所以AD平面DCG,所以VADGP(2)过F点作圆柱的母线FH交于H因为FH与BC均为圆柱的母线,所以FHBC且FHBC,所以四边形BCHF为平行四边形,所以FBHC且FBHC1,所以PCH为正三角形,又因为DPG为正三角形,所以HCPGPD60,CHGP,所以BFCHGP,所以APG为直线AP与BF所成的角,在APG中,所以由余弦定理知:,所以直线AP与直线BF所成角的余弦值

25、为(3)因为AD平面DCG,CG平面DCG,所以CGAD,又因为CGDG,ADDGD,所以CG平面ADG,所以CGAG,CGDG,因此AGD为二面角AGCD的平面角,在RtADG中,AD2,DG1,所以二面角AGCD的正切值为222已知函数f(x)log2(x1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)设g(x)f(x)+a,若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点,求实数a的取值范围;(3)设,是否存在正实数m,使得函数yh(x)在3,9内的最小值为4?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由【解答】解(1)函数f(x)log2(x1)由x10,即x1函数f(x)的定义域为x|x1;(2)函数g(x)f(x)+a,函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点可得函数f(x)与函数ya在(2,3)上有且仅有一个交点;x(2,3)上,那么0f(x)1,又f(x)log2(x1)是单调递增函数,0a1,故得实数a的取值范围1a0;(3)函数yh(x)在3,9内的最小值为4,设,令f(x)t,(1t3)可得h(t)t+4,当t时,可得等号;此时m4,t2故存在函数yh(x)在3,9内的最小值为4,此时m的值为4

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