1、章末综合检测(四)学生用书P137(单独成册)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1使函数f(x)xcos x在上取最大值的x为()A0BCD解析：选Bf(x)1sin x，所以f(x)在上是递增的，在上是递减的，所以选B2定义在R上的函数yf(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，又xf(x)0，所以x(，1)当x(1，1)时，f(x)0，又xf(x)0，所以x(0，1)综上可知解集为(，1)(0，1)故选C3函数f(x)xa在x1，4上是递减的，则实数a的最小值为()A1B2C3D4解析：
2、选D依题意得，当x1，4时，f(x)10，即a2恒成立注意到x1，4时，y2的最大值是24，因此，实数a的最小值为4，选D4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值集合为()Aa|1a2 Ba|3a6Ca|a2 Da|a6解析：选Df(x)3x22ax(a6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不同实根，即0，(2a)243(a6)0，解得a65若函数f(x)x2mln x在内是递增的，则实数m的取值范围是()AmB0m0且f(1)0，则f(x)0的解集是()A(，1) B(0，)C(，1)(0，) D(1，0)解析：选C令F(x)xf(x)，由f(x
3、)xf(x)0知F(x)0，F(x)在R上是递增的，又f(1)0，所以F(1)0，当x(，1)时，F(x)xf(x)0；当x(1，)时，F(x)xf(x)0，若x(1，0时，f(x)0，若x(0，)时f(x)0故f(x)0的解集为(，1)(0，)8已知函数g(x)ax3bx2cx(aR且a0)，g(1)0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.若方程f(x)0有两个实根，则的取值范围为()ABCD解析：选C因为g(x)ax3bx2cx，所以g(1)abc0，即cba又f(x)g(x)3ax22bxc，由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，所以(ba)(3b2a)0因为a0，所
4、以0，解得1又3ax22bxc0(a0)的根的判别式(2b)243ac4b212a(ba)43a20，满足题意，所以的取值范围是9已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值解析：选C在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故f(x)在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()Aff Bff Df(0)0，所以g(x)0在x上恒成立，所以g(x)是上的增函数，所
5、以g(0)g，即f(0)1时，f(x)0；在x1附近的左侧，f(x)1时，g(x)0，g(x)是递增的，当x1时，g(x)0，g(x)是递减的，且x趋于，g(x)趋于0g(x)最小g(1)，g(0)0，所以f(x)y|xex|的图像如图，由题意知，f(x)有两个不等正值使方程成立设为a，b(a由根与系数的关系，所以taba在是递减的，ae，故t，即t的取值范围为.所以选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分13要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_ cm解析：设该漏斗的高为x cm，则其底面半径为 cm，体积V(202x2)x(400xx3)(0x20)，则V(4
6、003x2)令V0，解得x或x(舍去)当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x时，V取得极大值，也是最大值答案：14已知函数f(x)是定义在区间(1，1)上的奇函数，且对于x(1，1)恒有f(x)0成立，若f(2a22)f(a22a1)0，则实数a的取值范围是_解析：因为当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在(1，1)上是减少的由题意，得f(2a22)f(a22a1)又f(x)为奇函数，所以f(2a22)f(a22a1)，即所以1a答案：15若函数f(x)x3x2ax4在区间1，1上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：f(x)3x22xa，由题意知f(x)在1，1内有一个变号零
7、点，有三种情况：(1)若f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，所以1a5，(2)若，即所以a1(3)若即无解，故a的取值范围是1，5)答案：1，5)16已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2，2时，函数yf(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是_解析：由题意知h(x)f(x)0，h(x)在2，2上是递增的，h(x)最大h(2)30，所以c0，f(x)是递增的，当x(3，1)时，f(x)0，f(x)是递增的，所以极大值为f(3)6e3，极小值为f(1)2e18(本小题满分12分)已知函数f(x)exax(1)已知x1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；(2)若
8、a1，求函数f(x)的极值解：(1)由f(x)exax，得：f(x)exa，因为x1是函数f(x)的极值点，所以f(1)ea0，解得：ae，经检验ae符合条件(2)令f(x)ex10，得：x0，列表如下，x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值当x0时，f(x)的极小值为1；f(x)无极大值19(本小题满分12分)已知函数f(x)x32x24x5(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在3，1上的最大值和最小值解：(1)f(x)x32x24x5，所以f(x)3x24x4，令f(x)0，则x，令f(x)0，则2x，所以递增区间为(，2)，递减区间为(2)令f(x)0，得x2或x，x3，2
9、)2f(x)00f(x)13所以x2为极大值点，x为极小值点，又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，所以yf(x)在3，1上的最大值为13，最小值为20(本小题满分12分)设函数f(x)exex(1)证明：f(x)的导数f(x)2；(2)若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围解：(1)证明：f(x)exex，由基本不等式得exex22，故f(x)2，当且仅当x0时等号成立，即f(x)2(2)令g(x)f(x)axexexax(x0)，则g(0)0，g(x)exexa若对任意x0，都有g(x)0，则需g(0)2a0，得a2(a2是g(x)0(x0)恒成立的必要条件)当a2时，g(x)
10、exexa2a0，因此函数g(x)在区间0，)上是递增的，故g(x)g(0)0(x0)恒成立所以a的取值范围是(，221(本小题满分12分)设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当a时，关于x的方程f(x)0在区间1，3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围解：(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a，3a)上是增函数当xa时，f(x)取
11、得极小值，f(x)极小值f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b(2)当a时，f(x)x3x2xbf(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是减函数，在上是增函数，在(2，)上是减函数要使f(x)0在1，3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1，2)，(2，3)上各有一个实根，于是有即解得0b22(本小题满分12分)如图，在半径为10 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计裁剪和拼接损耗)，记圆柱形罐子的
12、体积为V(cm3)(1)按下列要求建立函数关系式：设ADx cm，将V表示为x的函数；设AOD(rad)，将V表示为的函数；(2)请您用(1)问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积解：(1)AB22r，r，Vf(x)x(x3300x)，0x10AD10sin ，AB20cos 2r，r，Vg()10sin sin cos2，0(2)选用f(x)：f(x)(x2100)(x10)(x10)，0x10，令f(x)0，则x10列表得：x(0，10)10(10，10)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf(10)；选用g()：令tsin ，0，0t1，h(t)t(1t2)，所以h(t)(3t21)，令h(t)0，则t列表得：th(t)0h(t)极大值所以h(t)maxh，即g()max即圆柱形罐子的最大体积为.