1、吉林省松原市前郭县第五中学2020-2021学学年高二数学下学期期中测试试题注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1物体的运动位移方程
2、是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（ ）A2 m/sB4 m/sC6 m/sD8 m/s2在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）ABCD或3函数的图象大致是（ ）ABCD4已知直线与曲线相切，则（ ）A1BC0D5中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有（ ）A种B种C种D种6二项式的展开式中，含项的系数为（ ）A1140B1330C190D21
3、07点P在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）AB3C4D58已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）ABCD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9在的展开式中，有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）A非常数项系数的绝对值的和是1B系数最大的项是第1009项C偶数项的系数和是D当时，除以2018的余数为110已知函数，则（ ）A过点有且只有一条直线与曲线相切B当时，C若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1D若，则11
4、下列不等式中正确的是（ ）ABCD12已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（ ）A0BCD 第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13设函数可导，若，则_14若函数在上不单调，则实数a的取值范围是_15用这六个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字及个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如等都是“凸数”，则“凸数”有_个；（2）在组成的五位数中，恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有_个16已知函数在的值域为，则实数的取值范围为_ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
5、（10分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和 18（12分）现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若本书都不相同，共有多少种分法？（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ 19（12分）（1）计算：；（2）已知，求的值（用数字作答） 20（12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数（为的导函数），若方程在上有且仅有两个实根，求实数的取值范围 21（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调区间及
6、极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值 22（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）求证： 数学答案第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】由物体运动速度为位移对时间的导数，即，时，故选C2【答案】D【解析】设所求点为，因为，所以，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为，即，所以，则当时，；当时，所以所求点的坐标为或，故选D3【答案】B【解析】，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，当时，所以恒
7、为正，排除选项C，即只有选项B符合要求，故选B4【答案】B【解析】设切点坐标为，求导得，则，得，又，得，故选B5【答案】A【解析】若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，综上，总共有种选法，故选A6【答案】A【解析】根据二项式定理得的展开式中，含项的系数为，故选A7【答案】D【解析】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，因为，于是，所以，于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，解得或，又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；当时，函数的
8、图象与直线相交，满足条件，故选D 8【答案】C【解析】因为在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，即在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，它表示函数在上任意两点间连线的斜率大于，也即在上任意两点间连线的斜率大于，所以在恒成立，变形得，时，即，当且仅当时等号成立所以，的最小值为，故选C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9【答案】BD【解析】对于A中，由的展开式中，常数项为1，令，得所有项系数的绝对值的和为，所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为，所以A是假命题；对于B中，展开式的通项
9、公式为，所以系数最大的项是第1009项，所以B是真命题；对于C中，令，得，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故展开式中偶数项的系数和是，所以C是假命题；对于D中，当时，展开式中不含2018的项是1，所以当时，除以2018的余数为1，所以D是真命题，故选BD10【答案】BCD【解析】当时，设切点为，则，解得，故当时，过点且与曲线相切的直线方程为；当时，设切点为，由，解得，故当时，过点且与曲线相切的直线方程为，选项A不正确；当时，曲线的一条切线方程为，所以，选项B正确；作出函数的大致图象，如图所示， 结合图象可知，若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1，选项C正确；由图易知，且，即，所
10、以，得，由，得，得，所以，令，则，由，得，所以在上单调递减，所以，所以，所以，选项D正确，故选BCD11【答案】AC【解析】构造函数，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减，所以当时，取得最大值A选项，由可得，故A正确；B选项，由，可得，故B错误；由可推导出，即，即，则，即，所以，故C正确；D选项，因为，所以，所以，故D错误，故选AC12【答案】CD【解析】，由已知得，过点作曲线的三条切线，情况如下：点在曲线上，故此时，切点为，把点代入函数可得，利用切线公式得，所以，此时切线为轴，但此时切线只有一条，不符合题意；点不在曲线上，故此时切点在曲线上，设切点为，故切线经过，切线方程为，又因为切点在曲
11、线上，所以，又因为切线的斜率为，联立方程得，化简得，令，即有三个解，即与有三个交点，令，可得两极值点为，；对于，在和时，单调递增；在时，单调递减，所以，当时，因为，所以，当时，满足与有三个交点，而，故选CD 第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】3【解析】因为，所以，即，故14【答案】【解析】因为函数在上不单调，所以函数在上存在变号零点，由可得，于是，解得，故答案为15【答案】，【解析】（1）将这些“凸数”分为三类，且百位不能为：（i）若十位数字为，则只有“”，种情况；（ii）若十位数字为，则共有；（iii）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凸数”
12、（2）将符合题意的五位数分为三类：（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数故答案为，16【答案】【解析】由解析式知：，在、上，即单调递增；在上，即单调递减，有极大值，极小值，由题意知，即有，解得，故答案为 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）二项式展开式的通项为，因为前三项系数的绝对值成等差数列，所以，化简得，解得，（，舍去）（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二
13、项式系数最大的项为第项，即（3）展开式中所有系数的绝对值的和为18【答案】（1）种；（2）种；（3）150种【解析】（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，即有种不同的分法（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有种（3）根据题意，分2步进行分析：将本书分成组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法；若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，则有种分法19【答案】（1）；（2）【解析】（2）由，可得，即，可得，整理可得，解得或，因为
14、，可得，所以20【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，所以，又，所以切线方程为，即（2）由（1），定义域为，所以当时，递减；时，递增，所以时，取得极小值也是最小值，时，所以方程在上有且仅有两个实根，则实数的取值范围是21【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）由，得的定义域为，且当时，恒成立，在上是减函数，无极值；当时，令，得；令，得，所以函数在上为增函数，在为减函数，且当时，有极小值，无极大值（2）恒成立，即恒成立，令，则，令，显然是增函数，且，使，即，且当时，；时，在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值，所以整数的最小值为222【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以（2）证明：要证，只需证明对于恒成立，令，则，当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数，又因为，所以存在使得，由，得，即，即，即，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即