1、第七节函数的图象课标要求考情分析1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数2会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.1.由实际问题中的函数变化过程选图、根据解析式选图解决函数的性质问题是高考的热点2常与函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点)、方程、不等式等知识交汇考查3题型主要以选择题、填空题为主，属中档题.知识点一 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点
2、，连线知识点二 利用图象变换法作函数的图象1平移变换2对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象3伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)yAf(x)4翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图
3、象关于直线xa对称1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0，且a1)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()解析：(1)如f(x)2xx2时，|f(x)|2xx2|与f(|x|)2|x|x2在(0，)上的图象不同(2)如f(x)x2时，2f(x)2x2与f(2x)4x2的图象不相同(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称(4)若函数yf(x)满足f(
4、ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于直线xa对称2小题热身(1)下列图象是函数y的图象的是(C)(2)如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(A)A1B2 C3D4(3)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)(D)Aex1 Bex1Cex1 Dex1(4)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)logf(x)的定义域是(2,8(5)若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是(0，)解析：(2)将水从容器顶部
5、一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来图应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的(3)与曲线yex关于y轴对称的图象对应的解析式为yex，将函数yex的图象向左平移1个单位长度即得yf(x)的图象，f(x)e(x1)ex1，故选D.(4)当f(x)0时，函数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2,8(5)由题意得a|x|x，令y|x|x其图象如图所示，故要使a|x|x只有一个解，则a0.
6、考点一函数图象的识别命题方向1 图象变换法【例1】已知函数yf(1x)的图象如图，则y|f(x2)|的图象是()【解析】(1)把函数yf(1x)的图象向左平移1个单位得yf(x)的图象；(2)作出f(x)关于y轴对称的函数图象得yf(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得yf(x2)的图象；(4)将yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x2)|的图象【答案】A命题方向2 函数性质检验法【例2】(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()【解析】f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A；f()0，排除C；f(1)，且sin1cos1，f(1)1，排
7、除B.故选D.【答案】D命题方向3 用运动的观点识别图象【例3】广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线AOBCADB运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y|O1P|2，y与x的函数关系式为yf(x)，则yf(x)的大致图象为()【解析】根据题图中信息，可将x分为4个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)1；当x，2)时，设与的夹角为，|1，|2，x，y()254cos5
8、4cosx，yf(x)的图象是曲线，且单调递增；当x2，4)时，设与的夹角为，|2，|1，2x，y|O1P|2()254cos54cos，函数yf(x)的图象是曲线，且单调递减结合选项知选A.【答案】A方法技巧(1)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可(2)是已知解析式选图，解决此类问题常有以下策略：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断图象的循环往复；从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象(3)是求解因动点变化而形成
9、的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择1(方向1)函数ylog2(|x|1)的图象大致是(B)解析：ylog2(|x|1)是偶函数，当x0时，ylog2(x1)是增函数，其图象是由ylog2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足2(方向2)(2019全国卷)函数y在6,6的图象大致为(B)解析：因为f(x)，所以f(x)f(x)，且x6,6，所以函数y为奇函数，排除C；当x0时，f(x)0恒成立，排除D；因为f(4)7.97，排除A.故选B.3(方向3)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其
10、底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是(B)解析：水位由高到低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.考点二函数图象的应用命题方向1 解不等式【例4】设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)【解析】因为f(x)为奇函数，所以不等式0可化为0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)0的解集为(1,0)(0,1)【答案】D命题方向2 通过
11、图象的交点求参数范围【例5】(2019全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()A(， B(，C(， D(，【解析】当1x0时，0x11，则f(x)f(x1)(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当2x3时，令22(x2)(x3)，整理，得(3x7)(3x8)0，解得x或x，将这两个值标注在图中要使对任意x(，m
12、都有f(x)，必有m，即实数m的取值范围是(，故选B.【答案】B1(方向1)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0.当x时，ycosx0.结合yf(x)，x0,4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4,0上，0的解集为，所以1)相切时，方程xa有一个解，x24ax40，(4a)2440，得a1，此时方程f(x)xa有两个解当直线yxa经过点(1,2)时，即21a，所以a，当直线yxa经过点(1,1)时，11a，得a，从图象可以看出当a，时，函数f(x)的图象与直线yxa有两个交点，即方程f(x)xa有两个互异的实数解故选D. 利用图象研究函
13、数的中心对称性【典例】已知函数f(x)(xR)满足f(x)8f(4x)，函数g(x)，若函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，记作Pi(xi，yi)(i1,2，168)，则(x1y1)(x2y2)(x168y168)的值为()A2 018 B2 017C2 016 D1 008【解析】函数f(x)(xR)满足f(x)8f(4x)，可得f(x)f(4x)8，即函数f(x)的图象关于点(2,4)对称，由函数g(x)4，可知其图象关于点(2,4)对称，函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x1y1)(x
14、2y2)(x168y168)(48)841 008.故选D.【答案】D【素养解读】解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解在直角坐标系中，如果相异两点A(a，b)，B(a，b)都在函数yf(x)的图象上，那么称A，B为函数yf(x)的一对关于原点成中心对称的点(A，B与B，A为同一对)函数f(x)的图象上关于原点成中心对称的点有(C)A1对 B3对C5对 D7对解析：本题考查函数图象的应用因为ylog7x，x0关于原点对称的函数解析式为ylog7(x)，x0，所以函数f(x)的图象上关于原点成中心对称的点的组数，即为ycosx，x0与ylog7(x)，x1，log7101，则由图象可知，两个图象的交点个数为5，故选C.